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专题14:双曲线的定义与方程
一、单选题
1.点、分别是双曲线的左、右焦点,点在双曲线上,则的内切圆半径的取值范围是
A. B. C. D.
2.已知点是双曲线:的右支上一点,、是双曲线的左、右焦点,的面积为20,给出下列四个命题:
①点的横坐标为②的周长为
③大于④的内切圆半径为
其中所有正确命题的个数为()
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A,若,则此双曲线的标准方程可能为()
A.x21 B.
C. D.
4.已知,分别是双曲线:的左,右焦点,动点在双曲线的左支上,点为圆:上一动点,则的最小值为()
A.7 B.8 C. D.
5.设是双曲线上一点,、分别是双曲线的左、右焦点,则以线段为直径的圆与双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是()
A.内切 B.外切 C.内切或外切 D.不相切
6.已知双曲线的左、右顶点分别是,双曲线的右焦点为,点在过且垂直于轴的直线上,当的外接圆面积达到最小时,点恰好在双曲线上,则该双曲线的方程为()
A. B.
C. D.
7.设F为双曲线E:的右焦点,过E的右顶点作x轴的垂线与E的渐近线相交于A,B两点,O为坐标原点,四边形OAFB为菱形,圆与E在第一象限的交点是P,且,则双曲线E的方程是
A. B. C. D.
8.设分别是双曲线的左、右焦点,为坐标原点,过左焦点作直线与圆切于点,与双曲线右支交于点,且满足,,则双曲线的方程为
A. B. C. D.
9.已知双曲线中心在原点且一个焦点为,直线与其相交于,两点,中点的横坐标为,则此双曲线的方程是
A. B. C. D.
10.已知点是双曲线右支上一点,、分别是双曲线的左、右焦点,为的内心,若成立,则双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
11.已知双曲线,分别是双曲线的左右焦点,存在一点,点关于点的对称点是点,点关于点的对称点是点,线段的中点在双曲线上,则
A. B.4 C. D.8
12.设双曲线:的右焦点为,过作渐近线的垂线,垂足分别为,,若是双曲线上任一点到直线的距离,则的值为
A. B. C. D.无法确定
13.过双曲线的右支上一点,分别向圆和圆作切线,切点分别为,则的最小值为
A.10 B.13 C.16 D.19
14.已知分别是双曲线的左,右焦点,过引圆的切线交双曲线的右支于点,为切点,为线段的中点,为坐标原点,则
A.1 B.2 C.3 D.4
15.如图,已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,|F1F2|=8,P是双曲线右支上的一点,直线F2P与y轴交于点A,△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q,若|PQ|=2,则该双曲线的离心率为
A. B.
C.2 D.3
16.已知平面上两点和,若直线上存在点P使,则称该直线为“单曲型直线”,下列直线中是“单曲型直线”的是(????)
①;????②;???③;???④.()
A.①和② B.②和③ C.①和④ D.②和④
二、填空题
17.为双曲线右支上一点,分别是圆和上的点,则的最大值是_________________.
18.已知椭圆的左右顶点分别为,,且,为上不同两点(,位于轴右侧),,关于的对称点分别为为,,直线、相交于点,直线、相交于点,已知点,则的最小值为____________.
19.已知平面内两个定点和点,是动点,且直线,的斜率乘积为常数,设点的轨迹为.
①存在常数,使上所有点到两点距离之和为定值;
②存在常数,使上所有点到两点距离之和为定值;
③不存在常数,使上所有点到两点距离差的绝对值为定值;
④不存在常数,使上所有点到两点距离差的绝对值为定值.
其中正确的命题是_______________.(填出所有正确命题的序号)
20.如图,圆的圆心为点,,是圆上任意一点,线段的垂直平分线和直线相交于点,当点在圆上运动时,点的轨迹方程为__________.
参考答案
1.A
【解析】如图所示,设的内切圆圆心为,内切圆与三边分别相切于点,根据圆的切线可知:,,,又根据双曲线定义,即,所以,即,又因为,所以,,所以点为右顶点,即圆心,
考虑点在无穷远时,直线的斜率趋近于,此时方程为,此时圆心到直线的距离为,解得,因此内切圆半径,所以选择A.
2.C
【分析】设的内心为,连接,设,利用的面积为20,可求得P点坐标;的周长为,借助P点坐标,可得解;利用,可求得,可研究范围;可求得内切圆半径r.
【解析】设的内心为,连接,
双曲线:中的,,,
不妨设,,,
由的面积为20,可得,即,
由,可得,故①符合题意;
由,且,,
则,
则的周长为,故②符合题意;
可得,,
则,
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