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专题14：双曲线的定义与方程

一、单选题

1．点、分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，则的内切圆半径的取值范围是

A． B． C． D．

2．已知点是双曲线：的右支上一点，、是双曲线的左、右焦点，的面积为20，给出下列四个命题：

①点的横坐标为②的周长为

③大于④的内切圆半径为

其中所有正确命题的个数为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（）

A．x21 B．

C． D．

4．已知，分别是双曲线：的左，右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆：上一动点，则的最小值为（）

A．7 B．8 C． D．

5．设是双曲线上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，则以线段为直径的圆与双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是（）

A．内切 B．外切 C．内切或外切 D．不相切

6．已知双曲线的左、右顶点分别是，双曲线的右焦点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（）

A． B．

C． D．

7．设F为双曲线E：的右焦点，过E的右顶点作x轴的垂线与E的渐近线相交于A，B两点，O为坐标原点，四边形OAFB为菱形，圆与E在第一象限的交点是P，且，则双曲线E的方程是

A． B． C． D．

8．设分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且满足，，则双曲线的方程为

A． B． C． D．

9．已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，中点的横坐标为，则此双曲线的方程是

A． B． C． D．

10．已知点是双曲线右支上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，为的内心，若成立，则双曲线的渐近线方程为

A． B． C． D．

11．已知双曲线，分别是双曲线的左右焦点，存在一点，点关于点的对称点是点，点关于点的对称点是点，线段的中点在双曲线上，则

A． B．4 C． D．8

12．设双曲线：的右焦点为，过作渐近线的垂线，垂足分别为，，若是双曲线上任一点到直线的距离，则的值为

A． B． C． D．无法确定

13．过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，则的最小值为

A．10 B．13 C．16 D．19

14．已知分别是双曲线的左，右焦点，过引圆的切线交双曲线的右支于点，为切点，为线段的中点，为坐标原点，则

A．1 B．2 C．3 D．4

15．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|＝8，P是双曲线右支上的一点，直线F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|＝2，则该双曲线的离心率为

A． B．

C．2 D．3

16．已知平面上两点和,若直线上存在点P使,则称该直线为“单曲型直线”,下列直线中是“单曲型直线”的是(????)

①;????②;???③;???④.（）

A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④

二、填空题

17．为双曲线右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值是_________________.

18．已知椭圆的左右顶点分别为，，且，为上不同两点（，位于轴右侧），，关于的对称点分别为为，，直线、相交于点，直线、相交于点，已知点，则的最小值为____________．

19．已知平面内两个定点和点，是动点，且直线,的斜率乘积为常数，设点的轨迹为.

①存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；

②存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；

③不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值；

④不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值.

其中正确的命题是_______________.（填出所有正确命题的序号）

20．如图，圆的圆心为点，，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为__________．

参考答案

1．A

【解析】如图所示，设的内切圆圆心为，内切圆与三边分别相切于点，根据圆的切线可知：，，，又根据双曲线定义，即，所以，即，又因为，所以，，所以点为右顶点，即圆心，

考虑点在无穷远时，直线的斜率趋近于，此时方程为，此时圆心到直线的距离为，解得，因此内切圆半径，所以选择A.

2．C

【分析】设的内心为，连接，设，利用的面积为20，可求得P点坐标；的周长为，借助P点坐标，可得解；利用，可求得，可研究范围；可求得内切圆半径r.

【解析】设的内心为，连接，

双曲线：中的，，，

不妨设，，，

由的面积为20，可得，即，

由，可得，故①符合题意；

由，且，，

则，

则的周长为，故②符合题意；

可得，，

则，