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专题34:圆锥曲线中点弦问题
一、单选题
1.若椭圆的弦被点平分,则此弦所在的直线方程是()
A. B. C. D.
2.已知抛物线,直线交抛物线于两点,是的中点,过作轴的垂线交抛物线于点,且,若,则k为()
A. B. C. D.2
3.已知椭圆的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于不同的两点,若P为线段的中点,O为坐标原点,直线的斜率为,则椭圆C的方程为()
A. B. C. D.
4.已知双曲线,斜率为的直线交双曲线于、,为坐标原点,为的中点,若的斜率为,则双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
5.已知直线经过定点,与抛物线交于两点,且点为弦的中点,则直线的方程为()
A. B.
C. D.
6.已知双曲线上存在两点M,N关于直线对称,且的中点在抛物线上,则实数b的值为()
A.0或 B.0 C. D.
二、填空题
7.已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于、两点,则线段的中点到轴的距离是______.
8.双曲线的一个焦点为,中心为原点,过的直线与C交于,两点,若的中点为,则此双曲线的渐近线方程为________.
三、解答题
9.已知椭圆的左、右焦点分别为,过的直线不垂直坐标轴,与椭圆交于两点,M是的中点.
(1)若点M的横坐标为,求点M的纵坐标;
(2)记的斜率分别为,是否存在直线使得成等差数列,若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
10.已知椭圆,经过点且斜率为的直线与相交于两点,与轴相交于点.
(1)若,且恰为线段的中点,求证:线段的垂直平分线经过定点;
(2)若,设分别为的左、右顶点,直线、相交于点.当点异于时,是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.
11.已知椭圆方程为,左右焦点分别为,直线过椭圆右焦点且与椭圆交于A、B两点,
(1)若为椭圆上任一点,求的最大值,
(2)求弦AB中点M的轨迹方程,
12.如图,、是离心率为的椭圆:的左、右焦点,过作轴的垂线交椭圆所得弦长为,设、是椭圆上的两个动点,线段的中垂线与椭圆交于、两点,线段的中点的横坐标为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的取值范围.
13.如图,设椭圆两顶点,短轴长为4,焦距为2,过点的直线与椭圆交于两点.设直线与直线交于点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求线段中点的轨迹方程;
(3)求证:点的横坐标为定值.
14.已知抛物线过点,且P到抛物线焦点的距离为2直线过点,且与抛物线相交于A,B两点.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)若点Q恰为线段AB的中点,求直线的方程;
(Ⅲ)过点作直线MA,MB分别交抛物线于C,D两点,请问C,D,Q三点能否共线?若能,求出直线的斜率;若不能,请说明理由.
15.设A、B是椭圆上的两点,点是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.
(1)求直线AB的方程;
(2)判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上?若是求出圆的方程,若不是说明理由.
16.过椭圆+=1内一点M(2,1)引一条弦,使弦被M点平分.
(1)求此弦所在的直线方程;
(2)求此弦长.
参考答案
1.A
【分析】设直线交椭圆于,,把两点坐标代入椭圆方程,利用点差法求得斜率,然后求解直线方程.
【解析】设弦所在的直线与椭圆交,
则,两式相减得:,
因为弦中点为,
所以,
所以,
即
则直线方程为:,
化简得.
故选:A.
【点评】本题主要考查了直线与椭圆相交的位置关系,“点差法”的解题思想方法,直线方程的求法,属于中档题.
2.B
【分析】设,,根据向量运算可得,联立直线与抛物线方程,由根与系数的关系即可求解k.
【解析】设,
则,
由,
,
,
,①
即,
由得,
当,即时
,
代入①得:
即,
解得或(舍去),
故选:B
【点评】本题主要考查了抛物线的方程,直线与抛物线的位置关系,向量运算,属于难题.
3.D
【分析】设出两点的坐标,代入椭圆方程,作差变形,利用斜率公式和中点坐标可求得结果.
【解析】设,因为直线过,所以,得,
所以,
设,
由,得,得,
因为P为线段的中点,O为坐标原点,
所以,,
所以,
又在直线上,所以,
所以,即,将其代入,得,,
所以椭圆C的方程为.
故选:D
【点评】本题使用点差法求解,一般涉及到弦的中点和斜率问题的题目可以使用点差法,步骤如下:
①设出弦的两个端点的坐标;
②将弦的两个端点的坐标代入曲线方程;
③作差变形并利用斜率公式和中点坐标公式求解.
4.A
【分析】设点、,利用点差法求得,进而可得出双曲线的离心率为,即可得解.
【解析】设点、,则,
由题意,得,,两式相减,得,整理得,
所以,
因此,双曲线的离心率为,
故选:A.
【点评】求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下:
(1)定义法:通
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