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专题34：圆锥曲线中点弦问题

一、单选题

1．若椭圆的弦被点平分，则此弦所在的直线方程是（）

A． B． C． D．

2．已知抛物线，直线交抛物线于两点，是的中点，过作轴的垂线交抛物线于点，且，若，则k为（）

A． B． C． D．2

3．已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于不同的两点，若P为线段的中点，O为坐标原点，直线的斜率为，则椭圆C的方程为（）

A． B． C． D．

4．已知双曲线，斜率为的直线交双曲线于、，为坐标原点，为的中点，若的斜率为，则双曲线的离心率为（）

A． B． C． D．

5．已知直线经过定点，与抛物线交于两点，且点为弦的中点，则直线的方程为（）

A． B．

C． D．

6．已知双曲线上存在两点M，N关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数b的值为（）

A．0或 B．0 C． D．

二、填空题

7．已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于、两点，则线段的中点到轴的距离是______．

8．双曲线的一个焦点为，中心为原点，过的直线与C交于，两点，若的中点为，则此双曲线的渐近线方程为________．

三、解答题

9．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线不垂直坐标轴，与椭圆交于两点，M是的中点．

（1）若点M的横坐标为，求点M的纵坐标；

（2）记的斜率分别为，是否存在直线使得成等差数列，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

10．已知椭圆，经过点且斜率为的直线与相交于两点，与轴相交于点.

（1）若，且恰为线段的中点，求证：线段的垂直平分线经过定点；

（2）若，设分别为的左、右顶点，直线、相交于点.当点异于时，是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

11．已知椭圆方程为，左右焦点分别为，直线过椭圆右焦点且与椭圆交于A、B两点，

（1）若为椭圆上任一点，求的最大值，

（2）求弦AB中点M的轨迹方程，

12．如图，、是离心率为的椭圆：的左、右焦点，过作轴的垂线交椭圆所得弦长为，设、是椭圆上的两个动点，线段的中垂线与椭圆交于、两点，线段的中点的横坐标为1.

（1）求椭圆的方程；

（2）求的取值范围.

13．如图，设椭圆两顶点，短轴长为4，焦距为2，过点的直线与椭圆交于两点．设直线与直线交于点.

（1）求椭圆的方程；

（2）求线段中点的轨迹方程；

（3）求证：点的横坐标为定值.

14．已知抛物线过点，且P到抛物线焦点的距离为2直线过点，且与抛物线相交于A，B两点.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）若点Q恰为线段AB的中点，求直线的方程；

（Ⅲ）过点作直线MA，MB分别交抛物线于C，D两点，请问C，D，Q三点能否共线？若能，求出直线的斜率；若不能，请说明理由.

15．设A、B是椭圆上的两点，点是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点．

（1）求直线AB的方程；

（2）判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上？若是求出圆的方程，若不是说明理由．

16．过椭圆＋＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分．

（1）求此弦所在的直线方程；

（2）求此弦长．

参考答案

1．A

【分析】设直线交椭圆于，，把两点坐标代入椭圆方程，利用点差法求得斜率，然后求解直线方程．

【解析】设弦所在的直线与椭圆交，

则，两式相减得：，

因为弦中点为，

所以，

所以，

即

则直线方程为：,

化简得．

故选：A．

【点评】本题主要考查了直线与椭圆相交的位置关系，“点差法”的解题思想方法，直线方程的求法，属于中档题．

2．B

【分析】设,,根据向量运算可得，联立直线与抛物线方程，由根与系数的关系即可求解k.

【解析】设，

则，

由，

，

，

，①

即，

由得，

当，即时

，

代入①得：

即，

解得或（舍去），

故选：B

【点评】本题主要考查了抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，向量运算，属于难题.

3．D

【分析】设出两点的坐标，代入椭圆方程，作差变形，利用斜率公式和中点坐标可求得结果.

【解析】设，因为直线过，所以，得，

所以，

设，

由，得，得，

因为P为线段的中点，O为坐标原点，

所以，，

所以，

又在直线上，所以，

所以，即，将其代入，得，，

所以椭圆C的方程为.

故选：D

【点评】本题使用点差法求解，一般涉及到弦的中点和斜率问题的题目可以使用点差法，步骤如下：

①设出弦的两个端点的坐标；

②将弦的两个端点的坐标代入曲线方程；

③作差变形并利用斜率公式和中点坐标公式求解.

4．A

【分析】设点、，利用点差法求得，进而可得出双曲线的离心率为，即可得解.

【解析】设点、，则，

由题意，得，，两式相减，得，整理得，

所以，

因此，双曲线的离心率为，

故选：A.

【点评】求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

（1）定义法：通