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8.6.2直线与平面垂直
线线平行
平行关系线面平行
面面平行
1.复习引入,类比研究
线线垂直
线面垂直
相交垂直
异面垂直
垂直关系
2.直观感知,归纳定义
问题1:在生活中,有哪些实例给我们直线与平面垂直的直观感受呢?
旗杆垂直于地面铅笔垂直于桌面晷针垂直于晷面
直观感知数学化的定义?
比如:
2.直观感知,归纳定义
问题2:结合旗杆例子进行探究,尝试得出线面垂直的数学化定义.
一、直线与平面垂直的定义线线垂直一线面垂直
如果直线1与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与
平面α互相垂直.记作:llalLa
lLa
C
0□平面α的垂线
PO0口直线l的垂面
a
垂足
P
A
0
B
在棱锥的体积公式中,棱锥的高就是棱锥的顶点到底面的距离.
有且只有一条
垂线段
P
0□
0l
a
问:过一点作垂直于已知平面的直线有几条?
点到平面的距离
“点面距”
一、直线与平面垂直的定义
3.操作确认,探究定理
接下来我们来探究:如何证明直线与平面垂直?
如果按照定义来证明线面垂直,就要证明这条直线跟这个平面上所有的直线都垂直,这是一个无限的过程,是不现实的。那么,能否通过证明与有限条直线垂直来判定线面垂直呢?
首先,我们自然想到:跟一条直线垂直能否判定线面垂直?
请同学们拿出事先准备好的三角形纸片,我们一起来
做如下的折纸实验:
折纸实验
3.操作确认,探究定理
当且仅当折痕AD是BC边上的高时,AD所在直线与桌面所在平面垂直.
二、直线与平面垂直的判定定理
文字语言:一条直线与一个平面内的直线与此平面垂直.
图形语言:符号语言:
lLm
两条相交直线都垂直,则该
线线垂直一线面垂直
lLn
m∩n=P
MCC
lLa
m
P
nCC
la
n
(1)如果一条直线与一个平面内的两条直线垂直,那么这条直线与平面垂直吗?
(2)如果一条直线与一个平面内的无数条直线都垂直,那么这条
直线与平面垂直吗?
P
a
4.概念辨析,巩固新知
思考:
任意一条直线
所有直线
线不在多相交则灵
两条相交直线
4.概念辨析,巩固新知
小结:证明线面垂直的方法:线线垂直一
1.定义:任意一条直线所有直线
2.判定定理:两条相交直线
线面垂直
无限
有限
线不在多相交则灵
一条直线也垂直于这个平面.
符号语言:已知a//b,a⊥a,求证:b⊥a
定义法:在平面α内任取一条直线m.
∵直线alα,mca,
∴aLm.
∵b//a,∴b⊥m.
5.推理论证,定理应用
例1求证:如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另
a
mn
aP
你能用直线与平面垂直的定义证明这个结论吗?
又mca,∴bla.
5.推理论证,定理应用
练习如图,在三棱锥S-ABC中,∠ACB=90°,SA⊥平面ABC.求证:BC⊥平面SAC.S
线面垂直一线线垂直A
C
biē
线线垂直一线面垂直
需
nào
∵SA⊥平面ABC
BCc平面ABC
∴SA⊥BC
∵SA⊥BC,AC⊥BC,SA∩AC=A,
又SA,ACc平面SAC
∴BC⊥平面SAC.
证明:
B
6.渗透文化,拓展延申
刘徽,是魏晋期间伟大的数学家,中国古典数学理论的奠基人之一。
堑堵、阳马和鳖濡等这些名词出自《九章算术商功》,而刘徽注道“斜解立方,得两堑堵。斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖膘。阳马居二,鳖孺居一,不易之率也。”今称为刘徽原理。
刘徽
约225年—约295年
7.课堂小结,课后思考
课后思考:
1.如果要检验一根新旗杆与地面是否垂直,你有什么好方法吗?
2.我们通过直观感知和操作确认,已经从直观上得出了线面垂直的判定定理,你能从理论上用所学的知识解释它吗?
谢谢观看,再见!
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