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一.基本初等函数求导公式
(C)??0
(1)
(2)
(x?)???x??1
(sinx)??cosx
(3)
(cosx)???sinx
(4)
(5)
(tanx)??sec2x
(6)
(cotx)???csc2x
(secx)??secxtanx
(7)
(cscx)???cscxcotx
(8)
(9)
(ax)??axlna
(10)
(ex)??ex
1?
1?x2
1?x2
(log
a
x)?? 1
xlna
(12)
(lnx)??1
x,
(13)
(arcsinx)?? 1
(14)
(arccosx)??? 1
(15)
(arctanx)??
1
1?x2
(16)
(arccotx)???
1
1?x2
函数的和、差、积、商的求导法则
u?u(x) v?v(x)
设 , 都可导,则
(u?v)??u??v?
(1)
(2) (Cu)??Cu?(C是常数)
(3)
(uv)??u?v?uv?
(4)
?
u ??
u ?
? ?
?v?
u?v?uv?v2
反函数求导法则
若函数x??(y)在某区间Iy内可导、单调且??(y)?0,则它的反函数y?f(x)
在对应区间Ix内也可导,且
dy? 1
f?(x)?
1 dx dx
??(y) dy
或
复合函数求导法则
设y?f(u),而u??(x)且f(u)及?(x)都可导,则复合函数y?f[?(x)]的导数为
dy?dy du
?? ?
??(
??(x)
f(u)
二、基本积分表
?kdx?kx?C (k是常数)
?x?dx?
x??1
??1
?C, (u??1)
?1dx?ln|x|?C
x
(4)?
dx ?arltanx?C
1?x2
1?x
1?x2
?arcsinx?C
? cosxdx?sinx?C
?sinxdx??cosx?C
(8)?
1 dx?tanx?Ccos2x
(9)?
1
sin2
xdx??cotx?C
?secxtanxdx?secx?C
?cscxcotxdx??cscx?C
?exdx?ex?C
?axdx?
ax
lna
?C,(a?0,且a?1)
?shxdx?chx?C
?chxdx?shx?C
(16)?
1 dx?1arctanx?C
a2?x2 a a
(17)?
1 dx?
1ln|
x?a|?C
x2?a2 2a x?a
(18)?
(19)?
(20)?
1 dx?arcsinx?C
a2?
a2?x2
a2?x2a2?
a2?x2
a2?x2
x2
x2?a2
x2?a
x2?a2
)?C
|?C
?tanxdx??ln|cosx|?C
?cotxdx?ln|sinx|?C
?secxdx?ln|secx?tanx|?C
?cscxdx?ln|cscx?cotx|?C
注:1、从导数基本公式可得前15个积分公式,(16)-(24)式后几节证。2、以上公式把x换成u仍成立,u是以x为自变量的函数。
3、复习三角函数公式:
sin2x?cos2x?1,tan2x?1?sec2x,sin2x?2sinxcosx,cos2x?
1?cos2x
1?cos2x,
2
sin2x? 。
2
注:由?f[?(x)]?(x)dx??f[?(x)]d?(x),此步为凑微分过程,所以第一
类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法,要运用自如,务必熟记基本积分表,并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。
小结 :
1常用凑微分公式
积分类型
积分类型
1.?f(ax?b)dx?1?f(ax?b)d(ax?b)(a?0)
a
换元公式
u?
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