常用的求导和定积分公式.docx

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-可编辑修改-

一．基本初等函数求导公式

(C)??0

(1)

(2)

(x?)???x??1

(sinx)??cosx

(3)

(cosx)???sinx

(4)

(5)

(tanx)??sec2x

(6)

(cotx)???csc2x

(secx)??secxtanx

(7)

(cscx)???cscxcotx

(8)

(9)

(ax)??axlna

(10)

(ex)??ex

1?

1?x2

1?x2

(log

a

x)?? 1

xlna

(12)

(lnx)??1

x，

(13)

(arcsinx)?? 1

(14)

(arccosx)??? 1

(15)

(arctanx)??

1

1?x2

(16)

(arccotx)???

1

1?x2

函数的和、差、积、商的求导法则

u?u(x) v?v(x)

设 ， 都可导，则

(u?v)??u??v?

（1）

（2） (Cu)??Cu?（C是常数）

（3）

(uv)??u?v?uv?

（4）

?

u ??

u ?

? ?

?v?

u?v?uv?v2

反函数求导法则

若函数x??(y)在某区间Iy内可导、单调且??(y)?0，则它的反函数y?f(x)

在对应区间Ix内也可导，且

dy? 1

f?(x)?

1 dx dx

??(y) dy

或

复合函数求导法则

设y?f(u)，而u??(x)且f(u)及?(x)都可导，则复合函数y?f[?(x)]的导数为

dy?dy du

?? ?

??(

??(x)

f(u)

二、基本积分表

?kdx?kx?C （k是常数）

?x?dx?

x??1

??1

?C, (u??1)

?1dx?ln|x|?C

x

（4）?

dx ?arltanx?C

1?x2

1?x

1?x2

?arcsinx?C

? cosxdx?sinx?C

?sinxdx??cosx?C

（8）?

1 dx?tanx?Ccos2x

（9）?

1

sin2

xdx??cotx?C

?secxtanxdx?secx?C

?cscxcotxdx??cscx?C

?exdx?ex?C

?axdx?

ax

lna

?C，(a?0,且a?1)

?shxdx?chx?C

?chxdx?shx?C

（16）?

1 dx?1arctanx?C

a2?x2 a a

（17）?

1 dx?

1ln|

x?a|?C

x2?a2 2a x?a

（18）?

（19）?

（20）?

1 dx?arcsinx?C

a2?

a2?x2

a2?x2a2?

a2?x2

a2?x2

x2

x2?a2

x2?a

x2?a2

)?C

|?C

?tanxdx??ln|cosx|?C

?cotxdx?ln|sinx|?C

?secxdx?ln|secx?tanx|?C

?cscxdx?ln|cscx?cotx|?C

注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。2、以上公式把x换成u仍成立，u是以x为自变量的函数。

3、复习三角函数公式：

sin2x?cos2x?1,tan2x?1?sec2x,sin2x?2sinxcosx,cos2x?

1?cos2x

1?cos2x，

2

sin2x? 。

2

注：由?f[?(x)]?(x)dx??f[?(x)]d?(x)，此步为凑微分过程，所以第一

类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。

小结 ：

1常用凑微分公式

积分类型

积分类型

1.?f(ax?b)dx?1?f(ax?b)d(ax?b)(a?0)

a

换元公式

u?