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数学竞赛研究教程

数学竞赛研究教程篇一：初一数学竞赛教程

含例题练习及答案⑪

六安市求学教育

初一数学竞赛讲座

第1讲数论的方法技巧（上）

数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着

强大的生命力。数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中

归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要

证明它却远非易事”。因而有人说：“用以发现天才，在初等数学

中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何一

本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数

学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题

总是占有相当大的比重。数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数

的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、

整数的分解与分拆。主要的结论有：

1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，

r，使得a=bq+r（0≤r＜b），且q，r是唯一的。

特别地，如果r=0，那么a=bq。这时，a被b整除，记作b|a，

也称b是a的约数，a是b的倍数。

2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。

3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的

连乘积，即

其中p1＜p2＜?＜pk为质数，a1，a2，?，ak为自然数，并且这

种表示是唯一的。（1）式称为n的质因数分解或标准分解。

4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个

数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）?（ak+1）。

5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。因此，不

等式x＜y与x≤y-1是等价的。

下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。

一、利用整数的各种表示法

对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的

表示形式，则常常有助于问题的解决。这些常用的形式有：

1．十进制表示形式：n=an10n+an-110n-1+?+a0；

2．带余形式：a=bq+r；

4．2的乘方与奇数之积式：n=2mt，其中t为奇数。

例1红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小

明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这

个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。结果小明发现，无论

白色卡片上是什么数字，计算结果都是1998。问：红、黄、蓝3

张卡片上各是什么数字？

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解：设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是a3，a2，a1，a0，

则这个四位数可以写成：1000a3+100a2+10a1+a0，它的各位数字

之和的10倍是10（a3+a2+a1+a0）=10a3+10a2+10a1+10a0，这个

四位数与它的各位数字之和的10倍的差是：

990a3+90a2-9a0=1998，110a3+10a2-a0=222。

比较上式等号两边个位、十位和百位，可得a0=8，a2=1，a3=2。

所以红色卡片上是2，黄色卡片上是1，蓝色卡片上是8。

例2在一种室内游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数

abc(a,b,c依次是这个数的百位、十位、个位数字)，并请这个人算

出5个数acb,bac,bca,cab与cba的和N，把N告诉魔术师，于是

魔术师就可以说出这个人所想的数abc。现在设N=3194，请你当

魔术师，求出数abc来。

解：依题意，得

a+b+c＞14，

说明：求解本题所用的基本知识是，正整数的十进制表示法和

最简单的不定方程。

例3从自然数1，2，3，?，1000中，最多可取出多少个数使

得所取出的数中任意三个数之和能被18整除？

解：设a，b，c，d是所取出的数中的任意4个数，则a+b+c=18m，

a+b+d=18n，其中m，n是自然数。于是c-d=18（m-n）。

上式说明所取出的数中任意2个数之差是18的倍数，即所取出

的每个数除以18所得的余数均相同。设这