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第一章 函数·极限·连续
一.填空题
已知
f(x)?sinx, f[?(x)]?1?x2,则?(x)???,定义域为 .
解. f[?(x)]?sin?(x)?1?x2, ?(x)?arcsin(1?x2)
2?1?1?x2?1,0?x2?2, |x|?
2
?1?x?ax a
设lim?
? ?? tetdt,则a= .
x??? x ? ??
a
解.可得ea??atetdt=(tet?et)
?? ??
?aea?ea
,所以a=2.
3.lim? 1 ? 2 ??? n ?= .
?
?n???n2
?
?n?1 n2
?n?2 n2
?n?n?
?解.1 2 ???
?
解.
n2?n?n n2?n?n n2?n?n
1 ?
2 ??? n 1 2 ??? n
?n2?n?1 n2
?
?n?2 n2?n?n n2
?n?1 n2
?n?1 n2
?n?1
所以 1?2???
所以
1 ? 2
??? n
1?2???n
n2?n?n n2?n?1 n2?n?2 n2?n?n n2?n?1
n(1?n)
1?2???n
???2 ?
1
,(n??)
n2?n?n n2?n?n 2
1?2???n?
n(1?n)
2
1? ,(n??)
1
n2?n?1 n2?n?1 2
??1所以 lim ?
?
?
1
2 ???
n ? 1
?=
n???n2
?n?1 n2
?n?2 n2
?n?n? 2
?0?1 |x|?
?0
已知函数
f(x)?? |x|?1,则f[f(x)] .
解.f[f(x)]=1.
n?
n?3 n
n? n
n??
n?
n?3 n
)= .
n? n
n? n
( n?3 n? n?
n?3
n)( n?3 n?
n? n)
n?
n?
n
解.
nn?? n??
n
=lim
n??
n?3
n?
?2
nn?3
n
n?3 n? n? n
设当x?0时,f(x)?ex?1?bx为x的3阶无穷小,则a???,b???.
解.k?lim
ex?
1?ax
1?bx?limex
bxex
?1?ax?limex
bxex
?1?ax
x?0 x3
x?0
x3(1?bx)
x?0 x3
?limex?bex?bxex?a
x?0 3x2
?limex?2bex?bxexx?0 6x2
(1)
(2)
由(1):
由(2):
lim(ex?bex?bxex?a)?1?b?a?0
x?0
lim(ex?2bex?bxex)?1?2b?0
x?0
1 1
b?? , a?
2 2
limcotx? 1 ?1?
?sinx x?= .
x?0 ?
解.limcosx?
?
x?sinx
?lim
x?sinx
?lim1?cosx
?limsinx?1
x?0sinx
xsinx
x?0 x3
x?0
3x2
x?0
6x 6
lim
n1990
?A
已知
n??nk
?(n?1)k
(?0??),则A=
,k= .
解.lim
n1990
?lim
n1990 ?A
n??nk
?(n?1)k n??knk?1?
所以 k-1=1990, k=1991;
1?A,A?1? 1
k k 1991
二.选择题
设f(x)和?(x)在(-?,+?)内有定义,f(x)为连续函数,且f(x)?0,?(x)有间断点,则
?(x)
(a)?[f(x)]必有间断点(b)[
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