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【几何十讲】
三角形的五心-A(角分线心)
内心与旁心陶平生
三角形的五心是指内心、外心、重心、垂心与旁
从赛题统计方面来看,其中又以角分线心的问题最为突出,必须熟悉其基本性质,基本构形,
心;在数学竞赛中占有十分重要的位置.
常用辅助线以及基本定理的应用.
本讲座介绍内心与旁心问题
ABCIBC,CA,AB
的内心为,而边外的旁
心分别为IJ,I;
23
AD,BE,CF分别是三条内角平分线,AI交三
角形外接圆于M,|213交外接圆于K,AI2交
BC于N,
显然,三角形过同一顶点的内、外角平分线互相垂
直,并且有
(1)、.BICA,.BIC;
2
222
ABBDBN
⑵、
ACDCNC
;
(3)、Ml二MI/MB二MC;Kl2二KI3二KB二KC;
(4)、AD2=ABAC-DBDC;AN2=NBNC-ABAC;
(5)、ABAC=ADAM-ANAK;
AIIM
1
(6)、;(称为对称比定理).
IDMD
⑺、MI=MB=MC,(俗称“鸡爪”定理)
(注意,(2)(4)(5)中最后一等式仅当外角分线AI2与边BC有交点时使用)
1、ABC中,AD是A的平分线,点P,Q分别在AB,AC上,满足BP二CQ,
M,N分别是PQ,BC的中点;
证明:MN//AD.
1
2、AD是直角三角形ABC斜边BC上的高,(AB=AC),I,I2分别是
△ABDAAC的内心,AAliJ的外接圆eO分别交AB,AC于E,F,直线EF,BC交于
点M;证明:I1,I2分别是■ODM的内心与旁心.
3ABCD.ACB=/ADB=90°AC,BDN
、四边形中,,自对角线的交点,作
NM_ABMAC,MDEBD,MCFPEF
于,线段交于,交于,是线段上的任意一点.
证明:点P到线段CD的距离等于P到线段MC、MD的距离之和•
4ABCOEACOEABDM,N
、厶的外心为,是的中点,直线交于,点分别是
-BCD的外心与内心,若AB=2BC,
证明:.DMN为直角三角形.
A
5ABCDO00
、如图,四边形内接于、,而、与「“2外
O
POAC,BD0
切于点,且都内切于、,若对角线
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