三角形的内心与旁心问题.pdf

【几何十讲】

三角形的五心-A(角分线心)

内心与旁心陶平生

三角形的五心是指内心、外心、重心、垂心与旁

从赛题统计方面来看，其中又以角分线心的问题最为突出,必须熟悉其基本性质，基本构形，

心；在数学竞赛中占有十分重要的位置.

常用辅助线以及基本定理的应用.

本讲座介绍内心与旁心问题

ABCIBC,CA,AB

的内心为，而边外的旁

心分别为IJ，I；

23

AD,BE,CF分别是三条内角平分线，AI交三

角形外接圆于M,|213交外接圆于K,AI2交

BC于N,

显然，三角形过同一顶点的内、外角平分线互相垂

直，并且有

(1)、.BICA,.BIC；

2

222

ABBDBN

⑵、

ACDCNC

；

(3)、Ml二MI/MB二MC；Kl2二KI3二KB二KC；

(4)、AD2=ABAC-DBDC；AN2=NBNC-ABAC；

(5)、ABAC=ADAM-ANAK；

AIIM

1

(6)、；(称为对称比定理).

IDMD

⑺、MI=MB=MC,(俗称“鸡爪”定理)

(注意，(2)(4)(5)中最后一等式仅当外角分线AI2与边BC有交点时使用)

1、ABC中，AD是A的平分线，点P,Q分别在AB,AC上，满足BP二CQ,

M,N分别是PQ,BC的中点;

证明：MN//AD.

1

2、AD是直角三角形ABC斜边BC上的高，（AB=AC）,I,I2分别是

△ABDAAC的内心，AAliJ的外接圆eO分别交AB,AC于E,F,直线EF,BC交于

点M;证明：I1,I2分别是■ODM的内心与旁心.

3ABCD.ACB=/ADB=90°AC,BDN

、四边形中，,自对角线的交点，作

NM_ABMAC,MDEBD,MCFPEF

于，线段交于，交于，是线段上的任意一点.

证明：点P到线段CD的距离等于P到线段MC、MD的距离之和•

4ABCOEACOEABDM,N

、厶的外心为，是的中点，直线交于，点分别是

-BCD的外心与内心，若AB=2BC，

证明：.DMN为直角三角形.

A

5ABCDO00

、如图，四边形内接于、，而、与「“2外

O

POAC,BD0

切于点，且都内切于、，若对角线