冀教版中考数学《第16讲等腰、等边及直角三角形》知识梳理.docx

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第16讲 等腰、等边及直角三角形

一、知识清单梳理

知识点一：等腰和等边三角形

性质

①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC ∠B＝∠C；

③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.

判定

①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；

②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.

（1）性质

①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；

关键点拨与对应举例

三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 如：如左图，已知AD⊥BC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形.

失分点警示：当等腰三角形的

腰和底不明确时，需分类讨论.如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为

30°、120°或75°、75°.

等边三角形有一个特殊的角

等边三角形

②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.

（2）判定

①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；

②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；

③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝

60°，则△ABC是等边三角形.

60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.

例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，

BC=3，则△ABC的周长为9.

知识点二：角平分线和垂直平分线

（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若 A

角平分线

垂直平分

线图形

∠1＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.

1 PC

（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平 O 2

分线上． B

（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.

知识点三：直角三角形的判定与性质

(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；

1 （1）直角三角形的面积

直角三角形

30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝ AB；

2

斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则C A

S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角

边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个

的性质

D＝1AB. b

2

勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即 C

a2＋b2＝c2.

c

D

中间量解决与高相关的求长度问

a B 题.

（2）已知两边，利用勾股定理求

6.

6.直角

三角

形的判定

有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则

△ABC是Rt△；

如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△

勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.

A

b

c

D

C

a

B

长度，若斜边不明确，应分类讨

论.

（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.