第六章 二次型.docx

第六章二次型

主要内容：①二次型的概念及其矩阵表示

②用配方法化二次型为标准型

③用合同变换法化二次型为标准型

④用正交变换化二次型为标准型

⑤二次型及矩阵的正定性

第一次课：主要介绍二次型的概念及其矩阵表示，用配方法化二次型为标准型。

§6.1二次型及其标准型

二次型及其标准型

定义6.1.1:

+(6.1.1)

n1 2 n的n元二次齐次多项式叫做 , 的二次型,简称

n

1 2 n

ij i j元二次型。其中b称为乘积项xx的系数，当（6.1.1）的全部系

ij i j

数均为实数时，称之为实二次型。当（6.1.1）的系数允许有复数时，称之为复次型（本课程只讨论实二次型）。

若记 ，且

（6.1.2）

11

11

12

1n

1

( , ,

1 2

, )

n

21

22

2n

n1

n2

nn

n

重点：②④⑤难点：④⑤

1

11

1n

1

,

n1

nn

n

（6.1.4）

，则（6.1.3）式可记为

（6.1.3）和（6.1.4）式称为二次型的矩阵表示。在 ij ji的规定下，显

AA然 为实对称阵，且 与二次型时一一对应的。因此，实对称阵A又称为

A

A

二次型（6.1.2）的矩阵，A的秩叫做二次型的秩 。

例：二次型 的矩阵

2

2

3

2

3

A

3

2

1

0

3

0

1

2

23

2

3

2

3

f(x,x,x) (x,x,x)

3

2

1

0

x

1

x

2

x

3

XTAX

1

2

3

1

2

3

3 0

1

2

X

X

x

1

x

2

x

3

二次型的标准型

最简单的二次型是只含平方项的，形如

（6.1.5）

12的二次型。其中 , , 是实常数。这种形式的二次型称为

1

2

n

标准形式的二次型。

对一般的二次型（6.1.2），通常采用如下形式（称为变量代换或线性替换）。

注：二次型矩阵为对称阵

x1x2

x

1

x

2

p

p

y

111

y

211

p y

1n n

p

y

2n n

x

p

n

y

n11

p y

nn n

1

1

,

( )

ijn

n

n

P,1 2n代入（6.1.2）式后，将其化为关于新变

P

,

1 2

n

P。系数矩阵

P

是适当选取的满秩矩阵，即

是可逆阵。

定义6.1.2二次型（6.1.2）经满秩线性变换（6.1.6）化成形如（6.1.5）的标准形式，称为二次型用满秩线性变换化标准形。所得到的标准形

（6.1.5）叫做二次型（6.1.2）的标准形。

x y

1 1

n,Y

n

n用矩阵语言：记 x

n

则

y ，线性变换

, 是可逆阵

。

记 ，当D为对角阵时，

1

1

T

n

由此可见，化一般n元二次型f 成标准形等同于对二次型矩阵A寻找一

个n阶满秩矩阵P，使 T 成对角阵D。

AB定义6.1.3设 ，若存在n阶可逆阵P使成立，则称矩阵

A

B

AB合同于

A

B

，或简称

与 合同。

A由定义，二次型矩阵 与其标准形矩阵是合同的，矩阵合同有如下性质：（1）

A

AA反射性。 与 合同

A

A

对称性。A与B合同，则B与A合同

传递性。A与B合同，B与C合同,则A与C合同

若是A实对称阵，且A合同于B，则B也是实对称阵

合同阵的秩相等（但逆不成立）。

注：1。P必须可逆，这样才能保证变换可逆，即

1

P可逆故

，变换前后二次型性质不变。2。由 ，

，因D为对角阵。故r( )是D中主对角线元素不为零的个

数，因而有结论:二次型的秩等于标准形中系数不为零的完全平方项的项数，等于标准形矩阵主对角线元素不为零的个数。

§6.2满秩线性变换化标准形、惯性定理

定理6.2.1任何n元二次性都可以经过满秩线性变换化成标准形，化二次型为标准型的两个常用方法：配方法、矩阵合同变换法。

配方法化标准形

基本思想：第一步：把给定的二次型经适当的配完全平方，把（6.1.2）配成若干个线性式子的平方之代数和的形式，设二次型已配方成：

yp

y

p

x

211

p

2

x

2n n

y

p

x

n11

p

n

x

nn n

y

p

x

p

x

1

111

1n n

即得标准型： 。

f(4x2 4

f

(4x2 4xx 8xx) 3x2 4xx

2 12 2 3 3 13

4[x2

2

x(x

2

2x)

1 3

1

4

(x 2x)2] (x 2x)2 3x2

1 3 1 3 3

4xx

13

4(x

x

1

2

2x

2

3