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专题26:抛物线的对称性问题
一、单选题
1.抛物线y=2x2上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1x2=-,则m等于()
A. B.2
C. D.3
2.有一个正三角形的两个顶点在抛物线y2=2px(p0)上,另一个顶点在原点,则该三角形的边长是()
A. B.
C. D.
3.已知正的顶点,在抛物线上,另一个顶点,则这样的正三角形有个?
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知抛物线上有一定点和两动点,当时,点的横坐标取值范围是
A. B.
C. D.
5.在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球,其通过中心轴的纵剖面图如图所示,圆心在轴上,抛物线顶点在坐标原点,已知抛物线方程是,圆的半径为,若圆的大小变化时,圆上的点无法触及抛物线的顶点,则圆的半径的取值范围是()
A. B. C. D.
6.长度为4的线段的两个端点在抛物线上移动,试求线段的中点M到x轴距离的最小值为()
A.3 B. C. D.
7.已知曲线的抛物线及抛物线组成,,,是曲线上关于轴对称的两点(四点不共线,且点在第一象限),则四边形周长的最小值为()
A. B. C. D.
8.已知抛物线与圆交于A,B两点,且,则()
A. B.1 C.2 D.4
9.抛物线与圆交于、两点,圆心,点为劣弧上不同于、的一个动点,平行于轴的直线交抛物线于点,则的周长的取值范围是
A. B. C. D.
二、多选题
10.已知为坐标原点,过点作两条直线分别与抛物线:相切于点、,的中点为,则下列结论正确的是()
A.直线过定点;
B.的斜率不存在;
C.轴上存在一点,使得直线与直线关于轴对称;
D.、两点到抛物线准线的距离的倒数和为定值.
三、解答题
11.如图,已知抛物线:与圆:有四个不同的公共点,,,.
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)求四边形面积的最大值.
12.已知直线与抛物线有一个公共点.
(1)求抛物线方程;
(2)斜率不为0的直线经过抛物线的焦点,交抛物线于两点,.抛物线上是否存在两点,关于直线对称?若存在,求出的斜率的取值范围;若不存在,请说明理由.
四、填空题
13.已知抛物线,为其焦点,为其准线,过任作一条直线交抛物线于两点,分别为在上的射影,为的中点,给出下列命题:
①;②;③//;
④与的交点在轴上;⑤与交于原点.
其中真命题是__________.(写出所有真命题的序号)
14.曲线是平面内到定点和定直线:的距离之和等于5的点的轨迹,给出下列三个结论:
①曲线关于轴对称;
②若点在曲线上,则满足;
③若点在曲线上,则.
其中,正确结论的序号是________.
15.以抛物线:的顶点为圆心的圆交于两点,交的准线于两点.已知,,则等于__________.
16.已知抛物线的方程为,为坐标原点,,为抛物线上的点,若为等边三角形,且面积为,则的值为__________.
参考答案
1.A
【分析】由题意设出直线AB的方程,与抛物线方程联立消元后得到关于x的二次方程,然后结合根与系数的关系求出线段AB的中点坐标,代入对称轴方程y=x+m后可得m的值.
【解析】∵A,B两点关于直线y=x+m对称,
∴可设直线AB的方程为y=-x+b,
由消去y整理得2x2+x-b=0,
∵直线AB与抛物线交于两点,
∴Δ=1+8b>0,解得.
又由题意得,
∵,
∴b=1,满足题意.
设A,B的中点为P(x0,y0),
则,
∴,
又点在直线y=x+m上,
∴,解得.
故选A.
【点评】解决解析几何中的对称问题时要注意垂直与平分两个方面:(1)根据垂直可得两对称点所在直线的方程的斜率,进而得到过两对称点的方程,然后与曲线方程联立消元后运用根与系数的关系求解;(2)根据平分得到两对称点的中点坐标,然后根据此中点在对称轴上可得所求.
2.B
【分析】设出等边三角形的边长,根据等边三角形和抛物线的对称性,可得到对称两个顶点的坐标,将坐标代入抛物线方程可求得边长.
【解析】设等边三角形的边长为,根据等边三角形和抛物线的对称性,可得等边三角形一个顶点的坐标为,代入抛物线方程得,解得.
【点评】本小题主要考查等边三角形和抛物线图像的对称性,考查利用抛物线上点的坐标求参数等知识,属于基础题.
3.D
【解析】由题意得,当等边三角形关于轴对称时,两个边的斜率,
其方程为,
每条直线与抛物线均有两个交点,焦点两侧的两交点连接,分别构成一个等边三角形,
这样的正三角形有2个,如图所示(黑色两个),
两个顶点同时在抛物线上方如图中蓝色,或同时在下方各一个,如图中绿色部分,故选D.
4.D
【解析】设抛物线上两动点的坐标分别为,
,,,即
,整理可得:,而、和三点不重合即,所以式子可化成,整理可得,根据题意可知,关于的方程
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