第三节 无穷大与无穷小.docx

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无穷大与无穷小

无穷大与无穷小的定义：（用x?＊表示某一极限变化过程）

limf?x??0，则称f?x?是x?＊下的无穷小量。

x?＊

lim f

x?＊

?x???(lim f

x?＊

?x????;lim f

x?＊

?x????)，则称f?x?是x?＊下的无穷大量。

无穷小与无穷大的关系

在自变量的同一变化过程中，如果f?x?为无穷大，则 1

f?x?

为无穷小；反之，如果f?x?

为无穷小，且f?x??0，则 1

f?x?

为无穷大。

注：1.无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。

2.无穷大与无界的区别。无穷小与极限

在自变量的同一变化过程x?x

?是该变化过程中的无穷小量.

（或x??）中，lim f?x??a? f?x??a??，

0 x?x0

无穷小的运算

有限个无穷小的和也是无穷小。

有界函数与无穷小的乘积是无穷小。推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小。

推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小。

注：1.无穷多个无穷小量之和不一定是无穷小量。

无穷多个无穷小量之积也不一定是无穷小量。例如，当n??时，1

n

个这种无穷小之和的极限显然为2。

无穷大量乘以有界量不一定是无穷大量。

无穷多个无穷小量之积也未必是无穷小量。

是无穷小，2n

极限的运算

在给定极限过程中，limf?x?和limg?x?都存，且limf?x??A，limg?x??B。则有如下运算法则成立：

lim?f?x??g?x???limf?x??limg?x??A?B

limCf?x??Climf?x??CA

limf?x?g?x??limf?x??limg?x??AB

lim?f?x??n

??lim f?x??n

?An

f?x? limf?x? A

lim ? ?

?B?0?

g?x?

limg?x? B

注意：1.上面运算法则是在limf?x?和limg?x?都存在的情况下成立的；

limf?x?、limg?x?、lim

??f?x??g?x???、lim??f?x??g?x???这四个极限中：

任何两个存在都能得到另两个存在；

如果其中一个存在，一个不存在，则另两个必不存在。

limf?x?g?x?存在时：

limf?x??A?0，则limg?x?存在；

limf?x??A?0，则limg?x?可能存在，也可能不存在.

f?x?

lim

g?x?

?0时：

limg?x?存在（可以为0）或有界，则limf?x??0；

limg?x?为无穷大时，则limf?x?可能存在，也可能不存在.

求极限

代入法（用于函数在连续点的极限）;

0

分解因式，消去零因子法(

0

型，且分子、分母有公共的零因子)

例如，lim

x?3

x2?9

x?3

?lim

x?3

?x?3??6

?x2?1 ? ，求

lim ? ?ax?b??3 a,b

x???? x?1 ?

分子（分母）有理化法(0或?型，且分子或分母是两项极限都为0（或?）的差)

x2?550 ?? ?? ?? ?

x2?5

5

2x?

2x?1? 5

3 ?lim?

x2?5?3

??x2

?5?3

?2?x?1? ?

x?2

x?2

2x?1? 5

2x?1? 5

x2?5?3

x2?4

?x?2??x?2?

?lim

x?2

2x?4

?lim

x?2 2

?x?2? ?

2?

2

又如，lim x2

x???

?

? 1

x2?1?x?1?x ?

x2?1?x

x???

?

lim

x???

x2?ax?b?cx?d ?0，求a,b,