量子统计物理学基础(分析“粒子”文档)共29张PPT.pptx

第三章量子统计物理学基础;3.1经典统计系综;统计系综：

统计物理认为系统的动力学状态遵从统计规律性（对比牛顿力学的确定性）。即在一定的宏观条件下，某一时刻系统以一定的概率处于某一状态或某种状态范围内。并假设，宏观量是相应微观量对系统可能处的所有动力学状态的统计平均值。

如何获得统计平均值？大量的重复测量！

统计系综：由大量处于相同宏观条件下，性质完全相同而各处于某一微观状态、并各自独立的系统的集合。系综在相空间里的几何表示是无数多个相点的集合。

密度函数D(q,p,t)：相点(q,p)附近单位相体积元内相点的数目。

特别地，概率密度函数ρ(q,p,t)满足归一化条件（D=Nρ,N为总粒子数）：;刘维尔定理;3.2量子统计系综;2.算符的平均值：

考虑算符，其平均值为：

纯粹系综：各间有干涉。

混合系综：各间没有干涉。;特点：

若是正交归一的态矢量，则是统计算符的本征矢，这时密度矩阵为

统计算符的求和中若只有一项i不为零，我们回到了纯粹系综。因此我们上面的定义对两种系综都成立。

统计算符的迹为1，与表象无关。即：

统计算符平方的迹对混合系综小于1，对纯粹系综等于1。

统计算符是厄密算符，故其本征值为实数。

求统计算符的两个例子：见杨展如书第8-9页。

系综的熵算符：熵算符的定义为而系综的熵由此为：

上式最后一个等式我们已取为的正交归一的本征态矢量。这称作vonNeumann熵。

;量子统计里的刘维尔定理;刘维尔方程的形式解：

我们可以定义演变算符：，则

代入到刘维尔方程中我们发现

若H不显含t，则

密度算符的形式解为：

如用能量表象的完备正交矢展开，我们发现：

统计平衡时（定态），统计算符不随时间变化，这时统计算符和系统的哈密顿算符对易。若无简并，则统计算符是哈密顿算符的任意函数；若有简并，密度算符是哈密顿算符和所有与哈???顿算符对易的算符的函数。反之，若统计算符是哈密顿算符的任意函数，则其不随时间变化！;3.3几种平衡态量子统计系综;微正则系综的极值性质：对由孤立系组成的系综中，系统状态在ΔE内的一切可能分布里，微正则分布对应的熵最大（熵增加原理）！

证：由于对所有x0有：设是任一个可能的统计算符，是微正则分布对应的统计算符，令，我们发现：

上式两边取迹后易知：

;可设想为与外界大热源和大粒子源接触而达到统计平衡的系统。

与填布数(n1,n2,…,ni,…)对应的微观状态数为：

设系统和热源组成的（孤立）复合系统的总能量为，系统处于能量（）。

我们可以定义演变算符：，则

系综的概率密度函数在运动中不变，即

因此，考虑到简并后，我们有

上面后两式称为力学量b和H的泊松符号(Poissonbracket)。

薛定鄂绘景：态矢量显含时间，而算符不显含时间；

量子统计里的刘维尔定理

证：由于对所有x0有：设是任一个可能的统计算符，是微正则分布对应的统计算符，令，我们发现：

对理想气体，

因总能量和总粒子数恒定，我们有限制条件：δN=0及δE=0。

因此，考虑到简并后，我们有

(a)单一相（无相变）：

其中ρ=N/V为系统的密度，应用热力学关系：可得;3.3.3巨正则系综;这时热源可处于粒子数为，能量为的任何一个状态，由等概率假设得：

纯粹系综：每次测量，系综中N个粒子都处于同一态，可以用单一态矢量来描写：这里是纯态态矢量。

在