考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷18(题后含答案及解析).pdfVIP

考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷18(题后含答案及

解析)

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．已知A是四阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若A*的特征值是1，一1，

2，4，那么不可逆矩阵是()

A．A—E。

B．2A—E。

C．A+2E。

D．A一4E。

正确答案：C

解析：因为A*的特征值是1，一1，2，4，所以｜A*｜=一8，又｜A*｜=｜

A｜4－1，因此｜A｜3=一8，于是｜A｜=一2。那么，矩阵A的特征值是：一

2，2，一1，一。因此，A一E的特征值是一3，1，一2，一。因为特征值非零，

故矩阵A—E可逆。同理可知，矩阵A＋2E的特征值中含有0，所以矩阵A+2E

不可逆。所以应选C。知识模块：矩阵的特征值和特征向量

2．已知A是三阶矩阵，r(A)=1，则λ=0()

A．必是A的二重特征值。

B．至少是A的二重特征值。

C．至多是A的二重特征值。

D．一重、二重、三重特征值都有可能。

正确答案：B

解析：A的对应λ的线性无关特征向量的个数小于或等于特征值的重数。

r(A)=l，即r(OE—A)=1，(OE—A)x=0必有两个线性无关的特征向量，故λ=0的

重数大于等于2。至少是二重特征值，也可能是三重。例如A=，r(A)=1，但λ

=0是三重特征值。所以应选B。知识模块：矩阵的特征值和特征向量

3．设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，

α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是()

A．λ1≠0。

B．λ2≠0。

C．λ1=0。

D．λ2=0。

正确答案：B

解析：令k1α1+k2A(α1+α2)=0，则(k1+k2λ1)α1+k2λ2α2=0。因为α1，

α2线性无关，所以k1+k2λ1=0，且k2λ2=0。当λ2≠0时，显然有k1=0，k2=0，

此时α1，A(α1+α2)线性无关；反过来，若α1，A(α1+α2)线性无关，则必然

有λ2≠0(否则，α1与A(α1+α2)=λ1α1线性相关)，故应选B。知识模块：

矩阵的特征值和特征向量

4．已知三阶矩阵A与三维非零列向量α，若向量组α，Aα，A2α线性

无关，而A3α=3Aα一2A2α，那么矩阵A属于特征值λ=一3的特征向量是

()

A．α。

B．Aα＋2α。

C．A2α一Aα。

D．A2α+2Aα一3α。

正确答案：C

解析：因为A3α+2A2α一3Aα=0。故(A+3E)(A2α一Aα)=0=0(A2α一A

α)。因为α，Aα，A2α线性无关，必有A2α一Aα≠0，所以A2α一Aα是

矩阵A+3E属于特征值λ=0的特征向量，即矩阵A属于特征值λ=一3的特征向

量。所以应选C。知识模块：矩阵的特征值和特征向量

5．设n阶矩阵A与B相似，E为n阶单位矩阵，则()

A．λE—A=λE—B。

B．A与B有相同的特征值和特征向量。

C．A和B都相似于一个对角矩阵。

D．对任意常数t，tE一A与tE一B相似。

正确答案：D

解析：因为由A与B相似不能推得A=B，所以选项A不正确。相似矩阵具

有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故

选项B也不正确。对于选项C，因为根据题设不能推知A，B是否相似于对角阵，

故选项C也不正确。综上可知选项D正确。事实上，因A与B相似，故存在可

逆矩阵P，使P－1AP=B