培优专题20 圆中的最值问题-解析版.pdfVIP

培优专题19圆中的最值问题

◎类型一：利用圆的对称性求最值

12022··AB⊙OAB2C⊙O∠CAB30°D

．（全国九年级专题练习）如图，是的直径，＝，点在上，＝，为弧

BCEABCE+DE

的中点，是直径上一动点，则最小值为（）

A．1B．2C．3D．2

B

【答案】

DABD′OCODOD′CD′ABECE+DE

【分析】作点关于的对称点为，连接，，，，交于点，则的最小值

就是CD′的长度，根据已知易证∠COD′=90°，然后利用勾股定理进行计算即可解答．

DABD′OCODOD′CD′ABE

【详解】解：作点关于的对称点为，连接，，，，交于点，

∴DE=D′E，

∴CE+DE=CE+D′E=CD′，

∵∠CAB=30°，

∴∠COB=2∠CAB=60°，



∵D为BC的中点，



∴CD=DB，



∵DB=BD，



∴CD=DB=DB¢，

∴∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°，

∴∠COD′=90°，

AB=2

∵，

∴OC=OD′=1，

∴CD′=2¢222，

OC+OD=1+1=2

∴CE+DE最小值为：2，

B

故选：．

-

【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，轴对称最短路线问题，根据题目的

已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

22021··MN1⊙OA⊙O

．（江苏常熟市第一中学九年级阶段练习）如图，是半径为的的直径，点在上，

∠M=30°BANPMNPA+PB

，为弧的中点，点是直径上一个动点，则的最小值为（）

A．22B．2C．1D．2

B

【答案】

¢

AMNA¢¢AO¢A,P,B

【分析】过点作直线的对称点，连接AB，，则PA=PA，可得当点三点共线

¢¢

时，PA+PB的值最小，最小值为AB的长，再由圆周角定理可得ÐAON=ÐAON=60°，从而得到

¢

ÐAOB=90°，即可求解．