八上数学期末专题复习：运用全等三角形证题的基本思路.pdf

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运用全等三角形证题的基本思路

运用全等三角形能够证明若干与线段或角有关的几何问题.那么如何证明两

个三角形全等呢?一般来说，应根据题设条件，结合图形寻求边或角相等，使之

逐步逼近某一判定公理或定理，其基本思路有：

一、有两边对应相等，则寻求夹角或第三边对应相.

例1已知：如图1,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2,求证：BD=CE.

图1

分析：要证明BD=CE,只要证明△ABD≌△ACE.因为已知条件已给出了有两

边对应相等，所以只需证明这两边的夹角也相等，即∠BAD=∠CAE.而根据

图形和已知条件“∠1=∠2”,即可获证。

证明：∵∠1=∠2,

∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC,即∠BAD=∠CAE.

在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE(SAS),故BD=CE.

例2已知：如图2,AB=DF,AC=DE,BE=FC,求证：AB//DF.

图2

分析：要证明AB//DF,只要证明∠B=∠F,由于∠B、∠F分别在△ABC和

△DFE中，这就要证明△ABC≌△DFE,因为已知条件给出了两边对应相等，所

以可证明两个三角形的第三条边对应相等，即BC=FE,而根据图形和已知条件

“BE=FC”,即可获证.

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证明：∵BE=FC,

∴BE十EC=FC+CE,即BC=FE.

在△ABC和△DFE中，

∴△ABC≌△DFE(SSS),

∴∠B=∠F,故AB//DF.

二、有两角对应相等，则寻求夹边或任一等角的对边对应相.

例3已知：如图3,AB//CD,AD//BC.求证：AB=CD,AD=BC.

图3

分析：要证明AB=CD,AD=BC,只要连结AC,证明△ABC≌△CDA,因为

已知条件告诉AB//CD,AD//BC,这就等于告诉∠1=∠2,∠3=∠4,而AC

又是它们的夹边，则问题获证.

证明：连结AC,∵AB//CD,AD//BC,

∠1=∠2,∠3=∠4,

在△ABC和△CDA中，

∴△ABC≌△CDA(ASA),故AB=CD,AD=BC.

例4已知：如图4,∠1=∠2,∠3=∠4,求证：BE=CD.

分析：要证明BE=CD,只要证明△BCE≌△CBD,在这两个三角形中，∠1=

∠2,∠3=∠4,而∠1的对边是BC,∠2的

对边是CB,且有BC=CB,则问题获证.

证明：在△BCE和△CBD中，

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∴△BCE≌△CBD(AAS)

故BE=CD.

图4

三、有一边和该边的对角对应相等，则寻求另一角对应相.

图5