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高数精编习题解答习题
3-1
1、计算下列第二类曲线积分:
(1)?(x2
y2)dx,L为抛物线y2?x上由点(0,0)到点(2,4)的一段弧;
L
(2)?
(x?y)dx?(x?y)dy
,L为按逆时针方向饶行的圆x2
y2
?a2;
x2?y2
L
(3)?ydx?zdy?xdz,L为螺旋线x?acost,y?asint,z?bt上由t=0到t=2?的
L
有向弧段;
(4)?xdx?ydy?(x?y?1)dz,L为由点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线;
L
?F?dl,其中F??(y,x),L为由y=x,x=1及y=0所构成的三角形闭路,取逆时针
L
方向;
?F?dl,其中F?
L
ye ?xe
1 2
x2?y2
,L按逆时针方向饶行的圆x?acost,y?asint.
解(1)化为对x的定积分,L:y2?x,x从0到2,所以
?(x2
L
?y2)dx=?2(x2
0
1
?x4)dx?( x3
3
?1x5)2
5 0
??56
15
(2)圆周的参数方程为:x?acost,y?asint(0?t?2?)
?(x?y)dx?(x?y)dy
x2?y2
L
=1 ?2?(acost?asint)d(acost)?(acost?asint)d(asint)a2 0
=1 ?2?[(acost?asint)(?asint)?(acost?asint)(acost)]dt
a2 0
=1 ?2??a2dt??2?
a2 0
(3)L的参数方程为:x?acost,y?asint,z?bt,t从0到2?,所以
ydx?zdy?xdz=?2?asintd(acost)?btd(asint)?acostd(bt)
L 0
?2=? (?a
?2
0
sin
2t?abtcost?abcost)dt???a2
(4)直线的参数方程为:x?1?t,y?1?2t,z?1?3t(0?t?1)
?dx?dt,dy?2dt,dz?3dt代入
? xdx?ydy?(x?y?1)dz
L
=?1[(1?t)?2(1?2t)?3(1?t?1?2t?1)]dt
0
=?1(6?14t)dt?6?7?13
0
(5)三条直线段的方程分别为
y=0,x从0到1;x=1,y从0到1;y=x,x从1到0.
所以 ?F?dl=??ydx?xdy
L L
??1?1dy??0?xdx??0?xdx
0 1 1
=0
(6)?F?dl
L
??2?
y dx???x dy
0 x2
y2
x2?y2
??2?
asint acost
d(acost)? d(asint)
0 a2 a2
??2??1dt??2?
0
2、一力场由以横轴正向为方向的常力 F构成,试求当一质量为 m的质点沿圆周
x2?y2?R2按逆时针方向走过第一象限的弧段时,场力所作的功.
解:由题意知,场力所作的功为
W??
Fdx
L
L: x2
y2
?R2,x从R变到0,
于是,w=?Fdx?
L
?0Fdx??FR
R
3、有一平面力场F,大小等于点(x,y)到原点的距离,方向指向原点.试求单位质量
的质点P沿椭圆x2
a2
y2
b2
?1逆时针方向绕行一周,力F所作的功.
解:F?(?x,?y)
椭圆x2
a2
所以,
y2
b2
?1的参数方程为
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