专题03 全等三角形的六种模型全梳理（解析版）（人教版） .pdf

专题03全等三角形的六种模型全梳理

几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三

角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。

类型一、倍长中线模型

目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。将分散的条件集中到一个三角形中。

例1．【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE=AD，

连接BE．请根据小明的方法思考：

（1）如图2，由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是.

A．SSSB．SASC．AASD．ASA

（2）如图2，AD长的取值范围是.

A．6AD8B．6≤AD≤8C．1AD7D．1≤AD≤7

【感悟】

解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的

已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中.

【问题解决】

（3）如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF.

【答案】（1）B（2）C（3）见解析

【分析】（1）根据全等三角形的判定条件求解即可；

（2）根据全等三角形的性质得到AC=BE=6，由三角形三边关系得到

AB-BEAEAB+BE，即可求出1AD7；

（3）延长AD到点M，使AD=DM，连接BM，证明△ADC≌△MDB，得到

BM=AC，上CAD=上M，由AE=EF得到上CAD=上AFE，进而推出BF=BM，即可证

明AC=BF.

【详解】解：（1）如图2，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE.

∵AD为BC的中线，

∴BD=CD，

又∵AD=DE，上ADC=上BDE，

∴△ADC≌△EDB(SAS)，

故答案为：B；

（2）解：∵△ADC≌△EDB，

∴AC=BE=6，

在△ABE中，AB-BEAEAB+BE，

∴8-62AD8+6，

∴1AD7，

故答案为：C；

（3）证明：延长AD到点M，使AD=DM，连接BM，

∵AD是△ABC中线，

∴CD=BD，

∵在△ADC和△MDB中，

∴△ADC≌△MDB(SAS)，

∴BM=AC，上CAD=上M，

∵AE=EF，

∴上CAD=上AFE，

∵上AFE=上BFD，

∴上BFD=上M，

∴BF=BM，

∴AC=BF.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，等腰三角形的性质

与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

例2．（培优）已知△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，上ACB=上DCE=90。，连接AD,BE，

点F为BE中点.

如图1，求证：BF=

(2)将△DCE绕C点旋转到如图2所示的位置，连接AE,BD，过C点作CM丄AD于M点.

①探究AE和BD的关系，并说明理由；

②连接FC，求证：F，C，M三点共线.

【答案】(1)见解析

(2)①AE=BD,AE丄BD，理由见解析②见解析

【分析】（1）证明VACD≌VBCE，得到AD=BE，再根据点F为BE中点，即可得证；

,

（2）①证明△ACE≌△BCD，得到AE=BD，上CBD=上EAC