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专题八平面解析几何微专题三圆锥曲线中的证明与探究性问题
1.圆锥曲线中的存在性问题存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化.一般步骤如下:(1)假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在;(2)用待定系数法设出;(3)列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存
在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.注意????注意反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法.圆锥曲线中的证明与探究性问题
2.圆锥曲线中的探究性问题探究性问题常采用先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确,则存在;若结论不正
确,则不存在.其策略为(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论;(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件.
例1????(2024广东广州一模,18)已知O为坐标原点,双曲线C:?-?=1(a0,b0)的焦距为4,且经过点(?,?).(1)求C的方程;(2)若直线l与C交于A、B两点,且?·?=0,求|AB|的取值范围;(3)已知点P是C上的动点,是否存在定圆O:x2+y2=r(r0),使得当过点P能作圆O的两条切
线PM,PN时(其中M,N分别是两切线与C的另一交点),总满足|PM|=|PN|?若存在,求出圆
O的半径r;若不存在,请说明理由.
?解析????(1)由题意知???∴C的方程为x2-?=1.(2)当l的斜率不存在时,设l:x=t,∴y=±?,不妨令A(t,-?),B(t,?),由?·?=0?t2-3(t2-1)=0,t2=?,此时|AB|=2?=?;当l的斜率存在时,设l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立?消去y整理得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0,则有?∵?·?=0,∴?·?=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=(k2+1)·?+km·?+m2=?=0?2m2-3k2-3=0,即m2=?.
∴|AB|=?·?=?·?=??,k2≠3,令k2-3=λ,λ≥-3且λ≠0,∴|AB|=??=?·?
=??≥?,?≤-?或?0,综上,|AB|的取值范围为[?,+∞).(3)假设存在满足条件的圆O.设P(x0,y0),则?-?=1,连接OP,则PO平分∠MPN,∵|PM|=|PN|,∴PO⊥MN,设过P与圆O相切的直线为y-y0=k(x-x0),则?=r,∴?-2kx0y0+k2?=r2k2+r2,∴(?-r2)k2-2kx0y0+?-r2=0,它的两根记作k1,k2,
联立??3x2-?(x2-2x0x+?)-?-2k1y0(x-x0)=3,∴(3-?)x2+(2?x0-2k1y0)x+2k1x0y0-??-?-3=0,由根与系数的关系得x0xM=?,则xM=?,yM=k1(xM-x0)+y0=k1·?+y0,同理,xN=?,yN=k2·?+y0,∴kMN=?
=?=?=?,由PO⊥MN得kMN·kPO=-1,即?·?=-1,?·?=-1,(注意3?-?=3)
r2=??r=?,故存在圆O满足条件,此时r=?.
例2如图,D为圆O:x2+y2=1上一动点,过点D分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为A,B,连
接BA并延长至点W,使得|WA|=1,点W的轨迹记为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)若过点K(-2,0)的两条直线l1,l2分别交曲线C于M,N两点,且l1⊥l2,求证:直线MN过定点;(3)若曲线C交y轴正半轴于点S,直线x=x0与曲线C交于不同的两点G,H,直线SH,SG分别
交x轴于P,Q两点.请探究:在y轴上是否存在点R,使得∠ORP+∠ORQ=??若存在,求出点R坐标;若不存在,请说明理由.
?解析????(1)设W(x,y),D(x0,y0),则A(x0,0),B(0,y0),由题意知|AB|=1(AB为矩形OADB的对角线,|AB|=|OD|=1),所以?=?,得(x0-x,-y)=(-x0,y0),所以?因为?+?=1,所以?+y2=1,故曲线C的方程为?+y2=1.(2)证明:由题意可知,直线l1,l2与坐标轴不平行,则可设l1的方程为x=my-2,则直线l2的方程为x=-?y-2.
由?消去x得(m2+4)y2-4my=0,解得y=?或y=0(舍去),所以x=m·?-2=?,所以M?,同理可得N?.当m≠±1时,直线MN的斜率存在,kMN=?=?=?,
则直线MN的方程为y=??,所以直线MN过定点?.当m=±1时,直线MN斜率不存在,此时直线MN方程为x=-?,也过定点?.综上所述,直线MN过定点?.(3)假设存在点R,使得∠ORP+∠ORQ=?,设R(0,t),因为∠ORP+∠ORQ=?,所以∠ORQ=
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