人教版高中数学选择性必修第二册5.3.2.1函数的极值与导数【同步教学课件】.pptx

第五章5.3.2函数的极值与最大(小)值第一课时函数的极值与导数

1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值.课标要求素养要求通过理解函数的极值及其应用导数的求解过程，发展学生的直观想象与数学运算素养.

课前预习课堂互动分层训练内容索引

课前预习知识探究1

1.极值点与极值的概念(1)极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧_______，右侧_________，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.f′(x)＜0f′(x)＞0

(2)极大值点与极大值如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧________________，右侧_____________，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.__________、__________统称为极值点，________和________统称为极值.f′(x)＞0f′(x)＜0极大值点极小值点极大值极小值

点睛极值点是函数单调性的转折点，因此若f(x)在(a，b)内有极值，则f(x)在(a，b)内不是单调函数.

2.求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是________；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是________.极大值极小值

1.思考辨析，判断正误×(1)导数为0的点一定是极值点.()提示反例：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点.(2)函数的极大值一定大于极小值.()提示反例：如图所示：×极大值f(x1)小于极小值f(x2).(3)函数y＝f(x)一定有极大值和极小值.()提示反例：f(x)＝x3既没有极大值，也没有极小值.(4)单调函数不存在极值.()×√

2.函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是()DA.在(1，2)上函数f(x)为增函数B.在(3，4)上函数f(x)为减函数C.在(1，3)上函数f(x)有极大值D.x＝3是函数f(x)在区间[1，5]上的极小值点解析根据导函数图象知，x∈(1，2)时，f′(x)0，x∈(2，4)时，f′(x)0，x∈(4，5)时，f′(x)0.∴f(x)在(1，2)，(4，5)上为增函数，在(2，4)上为减函数，x＝2是f(x)在[1，5]上的极大值点，x＝4是极小值点.故选D.

3.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为() A.(－1，2) B.(－3，6) C.(－∞，－1)∪(2，＋∞) D.(－∞，－3)∪(6，＋∞)D解析f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，因为f(x)既有极大值又有极小值，∴方程3x2＋2ax＋a＋6＝0有两个不相等的实数根，那么Δ＝(2a)2－4×3·(a＋6)0，解得a6或a－3.

4.函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________.解析f′(x)＝3x2－6，

课堂互动题型剖析2

题型一不含参数的函数求极值【例1】求下列函数的极值：(1)f(x)＝(x3－1)2＋1；解∵f(x)＝(x3－1)2＋1＝x6－2x3＋2，∴f′(x)＝6x5－6x2＝6x2(x3－1).令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0，1)1(1，＋∞)f′(x)－0－0＋f(x)21∴当x＝1时，f(x)有极小值，为f(1)＝1，f(x)无极大值.

令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)3从表中可以看出，当x＝1时，函数f(x)有极小值，为f(1)＝3，f(x)无极大值.

1.求极值的步骤：(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；(2)求f′(x)＝0在函数定义域内的所有根；(3)用方程f′(x)＝0的根将定义域分成若干小区间，列表；(4)由f′(x)在各个小区间内的符号，判断f′(x)＝0的根处的极值情况.2.表格给出了当x变化时，