人教版高中数学选择性必修第二册5.3.2.2函数的最大(小)值与导数【同步教学课件】.pptx

第五章第二课时函数的最大(小)值与导数

1.能利用导数求某些函数的在给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.课标要求素养要求区别函数的极值和最大(小)值，借助于求函数的最大(小)值的运算，提升学生的数学运算和直观想象素养.2.体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.

课前预习课堂互动分层训练内容索引

课前预习知识探究1

1.函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值(1)函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在______处或________处取得.(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上最值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的______.②将函数y＝f(x)的各极值与________的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是________，最小的一个是________.端点极值点极值端点处最大值最小值

2.最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言.(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有).(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点.(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值.最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得.

1.思考辨析，判断正误(1)函数的最大值不一定是函数的极大值.()(2)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.()提示也可能在极值点处取到.(3)有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.()提示有极值的函数不一定有最值，如图所示，导函数f(x)有极值，但没有最值.√××(4)函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值.()√

2.如图所示，函数f(x)导函数的图象是一条直线，则()CA.函数f(x)没有最大值也没有最小值B.函数f(x)有最大值，没有最小值C.函数f(x)没有最大值，有最小值D.函数f(x)有最大值也有最小值解析由函数图象可知，函数只有一个极小值点，且函数在此处取得最小值，没有最大值.故选C.

C所以y的最大值为ymax＝π－sinπ＝π，故选C.

课堂互动题型剖析2

题型一求函数的最值角度1不含参数的函数最值【例1】求下列各函数的最值：(1)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1，1]；解f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∵f′(x)在[－1，1]内恒大于0，∴f(x)在[－1，1]上为单调增函数.故当x＝－1时，f(x)min＝－12；当x＝1时，f(x)max＝2.即f(x)的最小值为－12，最大值为2.

令f′(x)＝0，又x∈[0，2π]，所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.

角度2含参数的函数的最值问题【例2】已知f(x)＝ax－lnx，a∈R. (1)当a＝1时，求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；解当a＝1时，f(x)＝x－lnx，即x－2y＋2－2ln2＝0.

(2)是否存在实数a，使f(x)在区间(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解假设存在实数a，使f(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]有最小值3，①当a≤0时，f(x)在(0，e]上单调递减，

综上，存在实数a＝e2，使得当x∈(0，e]时，f(x)有最小值3.

求函数最值的着眼点(1)从极值点和端点处找最值，求函数的最值需先确定函数的极值，如果只是求最值，那么就不需要讨论各极值是极大值还是极小值，只需将各极值和端点的函数值进行比较即可求出最大值和最小值.(2)单调区间取端点，当图象连续不断的函数f(x)在[a，b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.思维升华

【训练1】已知a∈R，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0，2]上的最大值.解f′(x)＝3x2－2ax.f(x)在[0，2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.f(x)在[0，2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0.

题型二用导数证明不等式当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)0，∴f(x)在(－1，＋∞)上是增函数.于是当x0时，f(x)f(0