高考理科数学典型压轴题父老乡亲挺我.docx

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放缩法证明不等式

所谓放缩法，就是针对不等式的结构特征，运用不等式及有关的性质，对所证明的不等式的一边进行放大或缩小或两边放大缩小同时兼而进行，以达到证明结果的方法。但无论是放大还是缩小都要遵循不等式传递性法则，保证放大还是缩小的连续性，不能牵强附会，须做到步步有据。比如：证a＜b，可先证a

＜h，成立，而h＜b又是可证的，故命题得证。

1 1

数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点，解决这类问题常常用到放缩法。“放缩法”可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。

利用放缩法证明不等式，既要掌握放缩法的基本方法和技巧，又须熟练不等式的性质和其他证法。做到放大或缩小恰到好处，才有利于问题的解决。

一、用放缩法证明不等式的基本策略

1、运用放大、缩小分母或分子的办法来达到放缩的目的

分式的放缩对于分子分母均取正值的分式，如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可．还可利用真分数的分子和分母加上同一个正数，则分数值变大；假分数的分子和分母加上同一个正数，则分数值变小来进行放缩．

a b c d

例1、若a，b，c，d是正数．求证：1?

a?b?c?a?b?d

b?c?d

?a?c?d?2

a b c d

证明：a?b?c?a?b?d?b?c?d?a?c?d

a b c d

?a?b?c?d?a?b?c?d?a?b?c?d?a?b?c?d?1

a b c d a b c d

又a?b?c?a?b?d

b?c?d

a?c?d

?a?b?a?b?c?d

?c?d?2

a b c d

或a?b?c?a?b?d?b?c?d?a?c?d

? a?b ? b?c ? a?c ? b?d ?2

a?b?c?d a?b?c?d a?b?c?d a?b?c?d

a

（利用 ?

a?m(m?0)）

b b?m

a b c d

∴1?a?b?c?a?b?d?b?c?d?a?c?d?2

1

例2、求证：

12

?1?1

22 32

? ?1 ?2

n2

1证明：∵ ? 1

1

? 1 ?1

n2 n(n?1) n?1 n

∴1?1

?1???1

?1?1?1?1?1???

1 ?1

?2?1?2

12 22 32 n2 2 2 3 n?1 n n

1

【变式】

12

?1?1

22 32

? ?1?7

?n2 4

?

∵1 ? 1 ? 1 ?1

n2 n(n?1) n?1 n

∴1?1

?1???1

?1?

1?(1?1???

1 ?1)?

5?(1?1)?7

12 22 32 n2 22 2 3 n?1 n 4 2 n 4

n本题说明：此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即放不能太宽、缩不能太窄，真正做到恰到好处。

n

2例3、求证：2( n?1?1)?1?

2

1 ? 1

?...? 1 ?2

3n证明：

3

n

n? n?1∵2( n?1?

n? n?1

2 ? 1 ? 2 ? 2 ?

2 ?2(

n2 nn? nn?1

n

2 n

n? n

n?1? n

n

? n?1)

2

? 1 ?...? 1

?2( 1? ?

? 1?...?

? n?1)?2

3n02nn231? 1

3

n

0

2

n

n

2

3

? 1 ?...? 1

2?2(

2

n3? 1? ?

n

3

2?...? n?1? n)?2( n?1?1)

2

2∴2( n?1?1)?1?

2

1 ? 1

?...? 1 ?2

3nn1练习：求证 ? 1 ?

3

n

n

1

1 ?...?1?2

1 1?2 1?2?3 n!

1证明：∵ ?