- 1、本文档共9页,可阅读全部内容。
- 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
……………必威体育精装版资料推荐…………………
……………必威体育精装版资料推荐…………………
PAGE
PAGE1
三角换元法
摘要:本文归纳总结了三角换元法的基本用法,以常见例题的形式讲述了三角换元法在解题过程中的具体应用。
大家知道,换元法的实质是通过换元将原来比较复杂的、非标准的形式转化为简单的、标准的形式,以利于揭示问题的本质、题目的分析和解决。三角换元法是众多换元法中的一种,它以三角函数为“元”,将代数问题转化为易于应用三角函数性质求解的问题,三角换元法在求解方程、不等式、解析几何和函数最值等方面都有着广泛的应用。一般情况下,在运用三角换元的题目中,往往在表达式的形式或字母的取值范围等方面明显反映出三角函数式的特征,这一点给三角换元法的应用提供了线索。具体表现在该方法对于含有被开方式为
二次式的二次根式问题能起到除去二次根式的作用,因为二次根式ax2?bx?c总是可以
k2?t2k2?
k2?t2
k2?t
t2?k2
类问题归纳如下:
.形如y?f(x, a2?x2)的形式,其中 f是x和
a2
a2?x2
?
x?asint,(a?0,?
2
?t??)此时,x???a,a?或令x?acost,(a?0,0?t??),
2
同理x???a,a?,
.形如y?f(x, x2?a2)的形式,其中 f是x和
a2
a2?x2
x?atant,(a?0,??
2
x?(??,??)。
?t?
?),此时,x?(??,??)或令x?acott(a?0,0?t??),
x2?
x2?a2
x2?a2
x2?a2
)的形式,其中 f是x和
的代数函数。令
x?asect,(a?0,0?t?
?,??t?
3?),此时,x?(??,?a]?[a,??),或令x?acsct
(a?0,??
2
2 2
?t?0,0?t??),其中x?(??,?a]?[a,??)。
2
注:上面替换中应注意,t的范围应满足:
1°根式中变量的取值要求。
2°二次根式的化简唯一。
以上是常见的用法,其具体应用现分类介绍如下:一、三角换元法在解方程及解不等式中的应用。
例1. 解方程:x? x
?35
x2
x2?1
?
解:该方程的根必然为正(否则左负右正),所以设x?sect,(0?t?
),则方程变为
2
sect?
sect?35
tant 12
变形整理得:1225sin22t?576sin2t?576?0
∴ sin2t?
∵ 0?t?
24或sin2t??2425 49
?
2
∴ 0?2t??
故 sin2t??24应舍去,由sin2t?24得cos2t??7
49 25 25
4当cos2t??7时,得cost? ,∴ x?5
4
25 5 4
3当cos2t??7时,得cost? ,∴ x?5
3
5 5
5 5
故原方程的根为 x? 或x?
4 3
说明:此题关键是去掉根式,易联想到sec2??1?tan2?的形式,换元也就水到渠成了。
??x2?y2?9
2?例2. 解方程组??x?y?3 。
2
?
? ?解:由题意知x?0,y?0,则设x?3sin?,其中???0,??,那么y?3sin
? ?
? 2?
此时 x?y?3sin??3cos?
2?3 sin(???)
2
4
2?3
2
即 sin(???)?14
2? 3
2
? ? ?x? 2
∴ ?
24
2
2? 3
2
?x?
从而 ?
??y?3
?
? 2
2
2所以方程组的解为?
2
??y?3
?
? 2
说明:题目的实质是在圆上找一点,使其纵坐标之和为定值,注意到半径与定值的大小关系,设参数时角的范围可适当缩小。
例3. 实数x,y满足x?1,y?1,且
(log
a
2?(log
a
2?log
a
(ax2)?log
a
文档评论(0)