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第6节解析函数的孤立奇点留数是区别解析点与孤立奇点的重要标志;留数揭示了孤立奇点与围道积分的内在联系。一.孤立奇点及其分类定义1若在不解析,但在的某一去心邻域内解析,则称是的孤立奇点。
根据Laurent级数的形式分类:设为的孤立奇点,在的去心邻域内,的Laurent展式为:(1)为的可去奇点:若中无负幂项
(2)为(m级)极点:负幂项只有m项(3)为的本性奇点:负幂项无穷多项
根据的极限分类:定义2
性质1性质2例1求下列函数的奇点,并指出其类型:解:
解:
解
Laurent展式为:Laurent展式为:
有限个无穷个无负幂项负幂项负幂项
二.留数设为的孤立奇点,在的去心邻域内,的Laurent展式为:
留数计算法:
证明
2.从证明过程不难看出,即使极点的级数小于m,也可当作级数为m来计算。这是因为表达式的系数中可能有一个或几个为零而已,这不影响证明结果。
例2求下列函数的有限奇点并计算留数:解
无穷远点处的留数
例3求下列函数在无穷远处的留数:
解法1所以,0为的三级极点,且法2因为0是分子的一级零点,是分母的四级零点,所以0是的三级极点,取m=4,由公式2得
三.留数定理由复合闭路定理,得定理1设函数在区域D内除有限个孤立奇点外处处解析,L是D内包围诸奇点的一条逆时针方向简单闭曲线,那么利用这个定理,可将求沿封闭曲线L的积分,转化为求被积函数在L中的各孤立奇点处的留数。
定理2如果函数在扩充的复平面内除有限个孤立奇点外解析,那么在所有各奇点(包括点总和必等于零,)的留数的即
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