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相似三角形例题解析

编辑：启慧为了帮助同学们复习，天之骄学习研究部的老师参考多种学习资料精心选编了这

套相似三角形总结专题，供同学们查漏补缺。若有疑问，请速与我们联系。

相似三角形是初中几何的重要内容，包括相似三角形的性质、判定定理及其应用，是中考必考内容，以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型，所以掌握好相似三角形的基础知识至关重要，本讲就如何判定三角形相似，以及应用相似三角形的判定、性质来解决与比例线段有关的计算和证明的问题进行探索。

一、如何证明三角形相似

例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点

E、F，则△AGD∽△EGC ∽△EAB 。

分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角∠G外,由BC∥AD可得∠1=∠2，所以

A D

42 F

3

B E 1 C

G

△AGD∽△EGC。再∠1=∠2（对顶角），由AB∥DG可得∠4=∠G，所以△EGC∽△

EAB。

评注：（1）证明三角形相似的首选方法是“两个角对应相等的两个三角形相似”。

（2）找到两个三角形中有两对角对应相等，便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相似三角形记下来。

例2、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，

求证：△ABC∽△BCD

DA

D

分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计

B C

算也是一种常用的方法。

证明：∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°又BD平分∠ABC，则∠DBC=36°

在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A=∠DBC=36°

∴△ABC∽△BCD

例3：已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，

∠BCE=∠BAD

求证：△DBE∽△ABC

分析：由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用。所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。

证明：在△CBE和△ABD中，

∠CBE=∠ABD,∠BCE=∠BAD

∴△CBE∽△ABD

BC BE

∴AB=BD

BC AB

即：BE

=BD

在△DBE和△ABC中

∠CBE=∠ABD,∠DBC公用

∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC

∴∠DBE=∠ABC

BC AB

且BE=BD

∴△DBE∽△ABC

例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，

问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明

A D

你的结论。

分析：本题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：

如图：称为“平行线型”的相似三角形

B E F C

DEEDA

D

E

E

D

A

B

C

B C B C D E

如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。

A D

1A2

1

A

2

E21

E

2

1

4

1

D

2 C D

B B C B C

如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及△EAF与△ECA

解：设AB=a，则BE=EF=FC=3a，

由勾股定理可求得AE= 2a，

2AE EC

2

D2 1E在△EAF与△ECA中，∠AEF为公共角，且 ? ?

D

2 1

E

EF AE

所以△EAF∽△ECA（两边对应成比例且夹角相等的两个三

角形相似） B C

注：以上两例中都用了相似三角形的判定定理2，该定理的灵活应用是教学上的难点所在，应注重加强训练。

二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式

FD

F

D

例1、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延长 线

E

B K C

上截取BE，使AD=BE，求证：DF?AC=BC?FE

分析：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及 DF：FE=BC：AC，再利用相似三角形或平行线的性质进行证明：

证明：过D点作DK∥AB，交BC于K，

∵DK∥AB，∴DF：FE=BK：BE

又∵AD=BE，∴DF：FE=BK：AD，而BK：AD=BC：AC

即DF：FE=BC：AC，∴