《立体几何》解答题20题及答案.docxVIP

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立体几何解答题（1）

1、如图，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为棱AB、BC的中点。

（Ⅰ）证明：平面MNB1⊥平面BDD1B1

（Ⅱ）求点B到平面的距离。

（Ⅰ）证明：且

又平面MNB1⊥平面BDD1B1

（Ⅱ）解：设点B到平面的距离为，则三棱锥的高等于。

=，=

∴，即点B到平面的距离为

2、已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，

，分别为中点。

(1)证明：;(2)求三棱锥的体积。

解：（1）

又底面是正方形，故相交故

（2），故两点到平面的距离相等

故

设中点，则且，又

故，又

故

3、如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，,于点．

(1)求证：；

(2)求直线与平面所成的角的余弦值.

(1)证明：∵平面，平面,∴.

∵，平面,平面,

∴平面.

∵平面∴，

∵,,平面,

平面,∴平面.

∵平面,∴.

（2）解：由（1）知，，又，

则是的中点,在Rt△中,得，

在Rt△中,得,∴.

设点到平面的距离为，由，

得.解得，

设直线与平面所成的角为，则，∴.

∴直线与平面所成的角的余弦值为.

4、如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是EQ\r(3)，D是AC的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成的角的正弦值.

【解】：（1）正三棱住，底面ABC，又BDAC，

,平面,又平面D

平面D平面

（2）作AM，M为垂足，由（1）知AM平面，设与相交于点P，连接MP，则就是直线与平面D所成的角，

=，AD=1，在RtD中，=，，，

直线与平面D所成的角的正弦值为

5、如图所示，∥.

(Ⅰ)求三棱锥的体积；

(Ⅱ)在棱上是否存在一点，使得∥平面?证明你的结论.

【解】

(Ⅰ)

(Ⅱ)取棱的中点为，则有∥平面.证明如下：

取棱的中点为，

∥∥∥,因此四边形∥,所以∥平面.

6、如图，已知在侧棱垂直于底面的三棱柱中，

,且，点是中点．

(1)求证：平面⊥平面；

(2)若直线与平面所成角的正弦值为，

求三棱锥的体积．

【解】(1)证明（略）

(2)由（1）可知，所以AC1与平面A1ABB1所成的角为,在，由,

=

7、已知四边形ABCD为矩形，AD＝4，AB＝2，E、F分别是线段AB、BC的中点，PA⊥面ABCD.

(1)求证：PF⊥FD；

(2)设点G在PA上，且EG∥面PFD，试确定点G的位置．

【解】证明：（1）连接AF，在矩形ABCD中，

∵AD=4,AB=2,点F是BC的中点，

∴∠AFB=∠DFC=,∠AFD=,即AF⊥FD,

又∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥FD,又∵AF∩PA=A,FD⊥面PAF,

∵PF面PAF,∴PF⊥FD

过E作EH∥FD交AD于H，则EH∥面AFD,且AH=AD,

过H作HG∥PD交PA于G,

则GH∥面PFD且AG=eq\f(1,4)PA,∴面EHG∥面PFD,则EG∥面PFD,

从而G点满足AG=eq\f(1,4)PA，及G点的位置在PA上靠近A点处的四等分点。

8、如图，三棱锥中，，，，.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求直线AC与平面ABD所成的角的正弦值.

【解】（Ⅰ）证明：在中，，，

，

又，且

，又

（Ⅱ）在三角形中，，，

，

由（1）可知：

在中，，

在中，，，故

设点C到平面ABD的距离为h，CA与平面ABD所成的角为

即AC与平面ABD所成的角的正弦值为

9、在边长为的菱形中，

.现沿对角线把△折起，折起后使的余弦值为.

（Ⅰ）求证：平面⊥平面；

（Ⅱ）若是的中点，求三棱锥的体积。

【解】（Ⅰ）证明在菱形中，记，的交点为，，

∴，，翻折后变成三棱锥－，

在△中，

在中，

即

又平面

又平面平面平面