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专题04角平分线模型的三种考法
类型一、角平分线上的点向两边作垂线
例1.已知,△ABC中,∠BAC=120°,AD平分∠BAC,∠BDC=60°,AB=2,AC=3,
则AD的长是.
【答案】5
【分析】过D作,DETAC,DFTAB交AB延长线于F,然后根据全等三角形的性质和30O
角直角三角形的性质即可求解.
【详解】过D作,DETAC,DFTAB交AB延长线于F,
∵AD平分7BAC,DETAC,DFTAB,
∴DE=DF,∠DEC=∠DFB=90O=∠DEA,
∵∠BAC十∠BDC十∠DCE十∠DBA=360O,
∠BAC=120O,∠BDC=60O,
∴∠DCE十∠DBA=180O,
∵∠DBF十∠DBA=180O,
∴7DCE=7DBF,
在△DEC和△DFB中,
∴△DEC≌△DFB(AAS),
∴CE=BF,
在Rt△DEA和Rt△DFA中,
∴Rt△DEA≌△DFA(HL),
∴AE=AF,
∵AE=AC-CE,AF=AB+BF,
∴AC-CE=AB+BF,
∴CE+BF=AC-AB=1,
∴CE=BF=,
∵AD平分上BAC,
∴∠ADF=180O-∠DAB-∠DFB=30O,
∴AD=2AF=5.
【点睛】此题考查了全等三角形和角平分线的性质,解题的关键是作出辅助线构造全等三角
形.
【变式训练1】如图,AC、BD是四边形ABCD的对角线,BD平分上ABC,
2上ACD=上ABC+上BAC,已知上CAD=43O,则上BDC=.
【答案】47。
【分析】过D作DE丄BC于E,DF丄AB于F,DG丄AC于G,依据DC平分上ACE,BD
平分上ABC,利用角平分线的性质,即可得到DF=DG,进而得出AD平分上CAF.再根
据三角形外角的性质,即可得到上BDC=上BAC,进而得出结论.
【详解】如图所示,过D作DE丄BC于E,DF丄AB于F,DG丄AC于G,
∵BD平分上ABC,DE丄BC,DF丄AB,
∴DF=DE,
∵2上ACD=上ABC+上BAC,上ACE=上ABC+上BAC,
∴上ACE=2上ACD,
∴CD平分上ACE,
又∵DE丄BC,DG丄AC,
∴DE=DG,
∴DF=DG,
又∵DF丄AB,DG丄AC,
∴AD平分上CAF,
∵上CAD=43O,
∴上CAF=86O,上BAC=94O,
∵上DCE是△BCD的外角,上ACE是△ABC的外角,
=上ACE—上ABC
=
=上BAC
故答案为:47。.
【点评】本题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质,解题的关键是掌握角平分
线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
【变式训练2】已知:AD是△ABC的角平分线,且AD丄BC.
(1)如图1,求证:AB=AC;
(2)如图2,上ABC=30O,点E在AD上,连接CE并延长交AB于点F,BG交CA的延
FG
长线于点G,且上ABG=上ACF,连接.
①求证:上AFG=上AFC;
②若S△ABG:S△ACF=2:3,且AG=2,求AC的长.
【答案】(1)见解;(2)①见解析;②6.
【分析】(1)用ASA证明△ABD≌△ACD,即得AB=AC;
(2)①证明△BAG≌△CAE可得AG=AE,再用SAS证明△FAG≌△FAE,即得
上AFG=
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