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专题05最短路径的三种考法
类型一、坐标系的最值问题(和最小,差最大问题)
例.在平面直角坐标系中,B(2,2·),以OB为一边作等边△OAB(点Ax轴正半轴上).
(1)若点C是y轴上任意一点,连接AC,在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD.
①如图1,当点D落在第二象限时,连接BD,求证:AB⊥BD;
②若△ABD是等腰三角形,求点C的坐标;
(2)如图2,若FB是OA边上的中线,点M是FB一动点,点N是OB一动点,且OM+NM
的值最小,请在图2中画出点M、N的位置,并求出OM+NM的最小值.
【答案】(1)①见解析;②点C的坐标为(0,﹣4)或(0,4);(2)2·
【分析】(1)①证明△ABD≌△AOC(SAS),得出∠ABD=∠AOC=90°即可;
②存在两种情况:当点D落在第二象限时,作BM⊥OA于M,由等边三角形的性质得出AO
=2OM=4,同①得△ABD≌△AOC(SAS),得出BD=OC,∠ABD=∠OAC=90°,若△ABD
是等腰三角形,则BD=AB,得出OC=AB=OA=4,则C(0,﹣4);
当点D落在第一象限时,作BM⊥OA于M,由等边三角形的性质得出AO=2OM=4,同①
得△ABD≌△AOC(SAS),得出BD=OC,∠ABD=∠OAC=90°,若△ABD是等腰三角形,则
BD=AB,得出OC=AB=OA=4,则C(0,4);
(2)作ON⊥AB于N,作MN⊥OB于N,此时OM+MN的值最小,由等边三角形的性质和
勾股定理求出ON=2·即可
.
【详解】解:(1)①证明:∵△OAB和△ACD是等边三角形,
∴BO=AO=AB,AC=AD,∠OAB=∠CAD=60°,
∴∠BAD=∠OAC,
△ABD和△AOC中,LOAC,
∴△ABD≌△AOC(SAS),
∴∠ABD=∠AOC=90°,
∴AB⊥BD;
②解:存在两种情况:
当点D落在第二象限时,如图1所示:
作BM⊥OA于M,
∵B(22)
,,
∴OM=2BM=2·
,,
∵△OAB是等边三角形,
∴AO=2OM=4,
同①得:△ABD≌△AOC(SAS),
∴BD=OC,∠ABD=∠OAC=90°,
若△ABD是等腰三角形,则BD=AB,
∴OC=AB=OA=4,
∴C(0,﹣4);
当点D落在第一象限时,如图1﹣1所示:
作BM⊥OA于M,
∵B(22·)
,,
∴OM=2BM=2·
,,
∵△OAB是等边三角形,
∴AO=2OM=4,
同①得:△ABD≌△AOC(SAS),
∴BD=OC,∠ABD=∠OAC=90°,
若△ABD是等腰三角形,则BD=AB,
∴OC=AB=OA=4,
∴C(0,4);
综上所述,若△ABD是等腰三角形,点C的坐标为(0,﹣4)或(0,4);
(2)解:作ON⊥AB于N,作MN⊥OB于N,如图2所示:
∵△OAB是等边三角形,ON⊥AB,FB是OA边上的中线,
∴AN=AB=2,BF⊥OA,BF平分∠ABO,
∵ON⊥AB,MN⊥OB,
∴MN=MN,
∴N和N关于BF对称,此时OM+MN
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