新高考数学一轮复习专题六数列微专题二衍生数列问题课件.ppt

专题六数列微专题二衍生数列问题

类型一:数列中的去项、插项问题解决插项、去项问题的关键是要弄清楚插入或去掉的项数,同时还要分析这些项的特

征,以及这些项与原数列各项之间的关系,然后利用分组或并项法求和.衍生数列问题

例1????(2024广东广州华南师大附中一模,5)在数列{an}中的相邻两项an与an+1(n∈N*)之

间分别插入一个首项为an-?,公差为-?的等差数列的前n项,记构成的新数列为{bn},若an=?,则{bn}的前65项的和为?(????)A.-?????B.-13????C.-?????D.-14A

?解析????依题意知数列{bn}为a1,a1-1,a2,a2-?,a2-1,a3,a3-?,a3-?,a3-1,…,an,an-?,an-?,an-?,…,an-?,an-1,an+1,…,设an及其后面插入n项的和为Sn,则Sn=(n+1)an-?×?=2-?=?(3-n),所以数列{Sn}是以1为首项,-?为公差的等差数列.所以{bn}的前65项({an}中的前10项与插入的55项)的和为S1+S2+…+S10=?=-?,故选A.

例2记等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,等比数列{bn}的公比为q(q0),已知a1=b2

=4,q=?d,S9=9b4.(1)求{an},{bn}的通项公式;(2)将{an},{bn}中相同的项剔除后,两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列,构成数

列{cn},求{cn}的前100项和.

?解析????(1)由S9=9b4,得9a1+?d=9×b2q2,因为a1=b2=4,所以1+d=q2.结合q=?d,可得1+?q=q2,(2q+1)(q-2)=0,由q0,解得q=2,则d=3,所以数列{an}的通项公式为an=4+3(n-1)=3n+

1,数列{bn}的通项公式为bn=4×2n-2=2n.(2)由(1)可知,当n=100时,a100=301.因为bn=2n,所以b1=2,b2=4,b3=8,b4=16,b5=32,b6=64,b7=128,b8=256,b9=512301,令2=3n+1,解得n=?,令4=3n+1,解得n=1,令8=3n+1,解得n=?,令16=3n+1,解得n=5,令32=3n+1,解得n=?,令64=3n+1,解得n=21,令128=3n+1,解得n=?,令256=3n+1,解得n=85,

所以数列{an}的前100项中与数列{bn}中相同的项共有4项,即4,16,64,256,即为{bn}的前

8项中的偶数项.将{an},{bn}中相同的项剔除后,两个数列中余下的项按从小到大的顺

序排列构成数列{cn},则{cn}的前100项为数列{an}的前100项中剔除与数列{bn}相同的

4项后剩余的96项与{bn}的前8项中剔除与数列{an}相同的4项后剩余的4项,所以{cn}的前100项和为?+?-2×(4+16+64+256)=15080.

类型二:数列中的公共项问题数列公共项问题是指在给定数列中,找出满足特定条件的公共项或多项.解决数列公

共项问题的关键是观察数列的规律.在找到数列规律后,可以利用相应的数学公式进

行计算.

例3????(2024广东珠海一中期末,14)将数列{2n-1}与数列{n2-1}的公共项从小到大排列

得到新数列{an},则??=????.

?解析????显然2n-1是奇数,故两个数列的公共项必为奇数,对于数列{n2-1},当n为奇数时,设n=2k-1(k∈N*),则n2-1=(2k-1)2-1=4k·(k-1)为偶数;当n为偶数时,设n=2k(k∈N*),则n2-1=

4k2-1为奇数.故an=4n2-1,?=?=??,∴?+?+…+?=???-?+?-?+…+?-??=??=?,∴?+?+…+?=?.