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广义切比雪夫滤波器的标准综合技术

滤波器的设计方法有很多种，现代滤波器设计多采用网络综合法。图1给出了网络综合法设计滤波器的流程图，网络综合法以网络的衰减以及相移函数为基础，利用网络综合理论，先求出集总元件低通原型电路（再由频率变换函数，可变换为带通滤波器电路），然后将集总元件原型电路中的各元件用微波结构来实现，本文介绍的是滤波函数选择广义切比雪夫滤波函数的网络综合法。

图1：网络综合法设计滤波器流程图

所谓分析（Analysis）就是由具体的电路结构求出其结果的过程，所谓综合（Synthesis）就是由结果反推至电路结构的过程。工程上滤波器都是要根据客户给的指标来设计的，所谓的指标主要是指衰减指标（Attenuation）。所以在设计滤波器的过程中，往往需要先根据指标确定结果（通常指的是S参数的模值），然后根据所求得的满足指标的S参数结果确定电路结构，此过程称为滤波器的综合。对于广义切比雪夫滤波器，其滤波函数使用的是广义切比雪夫滤波函数（GeneralizedChebyshevFilteringFunction），一般可以通过改变滤波器的阶数N以及传输零点（TransmissionZero，Tz）的位置来使得滤波器的响应满足指标，也就是说广义切比雪夫滤波器的阶数与传输零点确定了，其响应也就确定了。如何由指标确定阶数与传输零点，现在通常使用手工确定然后在优化调整的方法，工程上一般在客户给出的指标的基础上加5dB的余量，然后通过改变阶数与传输零点的数量和位置来使得滤波器的响应（即S参数）满足加有余量之后的指标，最后再由该响应综合得出微波电路的物理参数。

在滤波器综合的过程中主要分为三步：由指标综合出阶数与传输零点的数量、位置（手工加优化确定,此时确定的是归一化低通原型频率的传输零点位置）；由阶数与传输零点的数量、位置综合出S参数（特征多项式的综合）；最后由特征多项式综合出耦合矩阵（耦合矩阵的综合）；最后由耦合矩阵综合出具体的滤波器物理参数。

耦合矩阵的综合过程需要使用导纳参数Y作为桥梁，即使用电路模型得出一个导纳参数Y，再根据所得到的特征多项式（S参数）得到另一个导纳参数Y，最后令两者相等得出耦合矩阵，这样就求得了具有所需要响应的电路模型，然后再根据电路模型指导设计实际滤波器结构。滤波器综合过程中最重要的一步就是耦合矩阵的综合，虽然耦合矩阵是由电路模型得出来的，但是它可以和实际的微波结构一一对应上，耦合矩阵有助于快速设计以及调试滤波器。

一、滤波器的特征多项式

滤波器是一个无耗的互易的二端口网络，其必满足无耗互易二端口网络具有的特性。在信号与系统中，通常使用的是复频变量s=σ+jω，这样做更具有普遍性。虽然我们习惯使用复频变量s，但是在实际中我们看到的往往是s=jω，ω在-∞~+∞之间变化。对于一个负载终端网络（图2），其内部含有电感、电容两种器件，那么策动点函数输入阻抗将可以表示为两个关于s的多项式之比的形式：z(s)=n(s)/d(s)，对于S参数我们知道S11表示的是端口1的反射系数，通过传输线理论可知，反射系数与输入阻抗有如下关系:

于是，S11也可以表示成为两个多项式之比的形式。根据能量守恒公式:

可得:

此时得到了滤波器的三个特征多项式E、F、P，确定任意两个可以通过能量守恒公式确定第三个。确定了这三个特征多项式，S参数也就确定下来了。需要注意的是，为保证网络可以实现，E(s)必须为严格的赫尔维茨（Huruitz）多项式，其根必须分布在s的左半开平面内。

图2：负载终端滤波网络

对于广义切比雪夫滤波器，我们定义：

，

由能量守恒：

与用于归一化F、P，是实常数。用于归一化滤波器通带内的最大幅值，可以在特定的s下由P/E计算得出。用于归一化多项式F、E使其为首1多项式（最高次项系数为1）。通常特征多项式可写成由根组成的因式相连乘确定的多项式，如此构成的多项式满足此条件，当nfz小于N的时候，由可以得出在s趋于无穷的时候（假设F、E是首1多项式）。当nfz等于N的时候，同样可得在s趋于无穷的时候（假设F、E、P是首1多项式），。

由于无源滤波网络无耗，E应为N阶（相同于滤波器阶数）严格的赫尔维茨多项式（由无源滤波网络决定的），其复系数为e0、e1、...、eN，F为N阶多项式，其复系数为f0、f1、...、fN，P为nfz阶多项式，nfz小于等于N，否侧当频率趋于无穷的时候S21趋于无穷，这是不可能的。多项式根的个数等于其阶数，对于广义切比雪夫滤波器而言，F的N个根（S11=0）全落在虚轴上（这是由广义切比雪夫函数决定的），表示的是传输极点；P的nfz个根（S21=0）必须落在虚轴上或者是关于虚轴成对出现（这是由无耗互易网络决定的），表