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高数试题分析、详解和评注

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）

曲线y

? x2

2x?1

的斜渐近线方程为

y?1

2

x?1.

4

【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.

【详解】 因为a=lim f(x)

?lim x2 ?1，

x???x

x??2x2?x 2

b?lim?f(x)?ax??lim

?x ??1，

x?? x??2(2x?1) 4

于是所求斜渐近线方程为y?1

2

1

x? .

4

【评注】如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。这里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当x??时，极限

f(x)

a?lim

不存在，则应进一步讨论x???或x???的情形，即在右或左侧是否存

x???x

在斜渐近线。

完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.192【例7.32】

微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??1

9

的解为y?1

3

1

xlnx?

9

x..

【分析】直接套用一阶线性微分方程y??P(x)y?Q(x)的通解公式：

y?e??P(x)dx[?Q(x)e?P(x)dxdx?C]，再由初始条件确定任意常数即可.

【详解】原方程等价为

y??

2y?lnx，

x

于是通解为 y?e

?2dxx

[?lnx?e

?2dxx

dx?C]?

1 ?[?x2

x2

lnxdx?C]

=1xlnx?

3

1 1

x?C ，

9 x2

由y(1)??1

9

得C=0，故所求解为y?

1 1

xlnx? x.

3 9

【评注】本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型.另外，本题也可如下求解：原方程可化为

x2y??2xy?x2

lnx，即 [x2y]??x2

1

lnx，两边积分得

x2y??x2

lnxdx?

1x3lnx?1x3

3 9

C，

再代入初始条件即可得所求解为y?

1xlnx?1x.3 9

13完全类似公式见《数学复习指南》（理工类）

1

3

（3）设函数

u(x,

y,z

x2

)?1?

6

y2

12

z2

18

，单位向量

n?? {1,1,1} ，则

=

=3.

?u?n(1,2,

?u

?n

【分析】函数u(x,y,z)沿单位向量n?

?{cos?,cos?,cos?}的方向导数为：

?u?

?n

?ucos??

?x

?ucos??

?y

?ucos?

?z

因此，本题直接用上述公式即可.

【详解】 因为?u

?x

?x，?u

3 ?y

?y，?u

6 ?z

?z，于是所求方向导数为

9

?u?n3=

?u

?n

3

(1,2,3) 3

?1? 1

33

3

?1? 1

33

3

???3.

3

【评注】本题若n?={m,n,l}非单位向量，则应先将其单位化，从而得方向余弦为：

m2?n2?

m2?n2?l2

,cos?? n

,cos?? l .

m2?n2?

m2?n2?l2

m2?n2?l2

x2?y2（4）设?

x2?y2

与半球面z?

围成的空间区域，?是

R2?x2?y2?的整个边界的外侧，则??xdydz ?ydzdx ?

R2?x2?y2

?

)R3.

22

2

【分析】本题?是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.

【详解】 ??xdydz

ydzdx ?zdxdy ?

???3dxdydz

?

=3?R?20

.

d??4sin

?0

?

?d??2?

0

?

d??

2?(1