高职高专 高等数学第一章教案.docx

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第一章 函数、极限、连续

教学要求

了解分段函数、复合函数、初等函数等概念。

理解数列极限、函数极限的定义。

掌握极限的四则运算法则。

了解无穷大、无穷小及其比较的概念，了解函数及其极限与无穷小的关系。理解无穷小的性质。

了解夹逼准则和单调有界数列极限存在准则。熟练掌握两个重要极限求极限。

理解函数连续与间断概念，会判断间断点类型，了解初等函数连续性及闭区间上连续函数性质。

教学重点

函数的概念、复合函数的概念，基本初等函数的图形和性质；极限概念，极限四则运算法则；函数的连续性。

教学难点

函数与复合函数的概念；极限定义，两个重要极限；连续与间断的判断。

教学内容

第一节 函数一、函数的定义与性质

1.集合；2.邻域；3.常量与变量；4.函数的定义；5.函数的特性。二、初等函数

1.反函数；2.复合函数；3.初等函数。三、分段函数

一、函数的定义与性质

集合定义具有某种特定性质的事物的总体；组成这个集合的事物称为该集合的元素，元素a属于集合A，记作a?A,元素a不属于集合A, a?A,

集合的表示法：

,a}n列举法 A?{a,

,a}

n

1 2

描述法M?{xx所具有的特征}

集合间的关系:

若x?A,则必x?B,就说A是B的子集,记做 A?B；若A?B且A?B,

则称A是B的真子集；若A?B且B?A，则A?B。

常见的数集

N自然数集；Z整数集；Q有理数集；R 实数集

它们间关系: N?Z,Z?Q,Q?R.

例

A?{1,2}，C?{xx2?3x?2?0}，则A?C

不含任何元素的集合称为空集,记作?例如,{xx?R,x2?1?0}??

规定空集为任何集合的子集.

运算设A、B是两集合,则

并A?B?{x?x?A或x?B};

交A?B?{x?x?A且x?B}

差“A\B”?{x?x?A且x?B}

补（余）?S/A,其中S为全集

其运算律

(1)A?B=B?A,A?B=B?A

(2)（A?B)?C=A?(B?C),(A?B)=A?(B?C)(3)（A?B)?C=(A?C)?(B?C)

（A?B)?C=(A?C)?(B?C)

(4) (A?B)c

?AC

?BC,(A?B)c

?Ac?Bc

注意A与B的直积A?B?{(x,y)?x?A且y?B}

例如：R?R={(x,y)?x?R且y?R}

表示xoy面上全体点的集合,R?R常记为R2

邻域:设a与?是两个实数且??0，称集合{xa???x?a??}为点a的?邻域。点a叫做这邻域的中心，? 叫做这邻域的半径。记作U(a)?{x a???x?a??}

?

? ?

a?? a a???x

点a的去心?邻域记做U0(a) ，U

?

?0(a)?{x0?x?a??}。

注意：邻域总是开集。8常量与变量:

在某个过程中变化着的量称为变量，保持不变状态的量称为常量,注意：常量与变量是相对于“自变量变化过程”而言的.

常量与变量的表示方法：

用字母x,y,t等表示变量，通常用字母a,b,c等表示常量。9函数的定义：

设x和y是两个变量，D是一个给定的非空数集。如果对于每个给定的数x?D，变量y按

照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作y=f(x).x叫做自变量，y叫做因变量。

数集D叫做这个函数的定义域，

数集R ?f(D)?{y|y?f(x),x?D}叫做函数的值域。

f

注意：1）当两个函数的定义域和对应法则都相等时，两者才是同一个函数。

如f(x)?lgx2和f(x)?2lgx就不是同一个函数。

求定义域的方法：

应用题由实际意义确定；形式题就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。如

1

1?x2f(x)? 1?x2,D?[?1,1];f(x)? ,D?

1?x2

如果在D中任取一个x对应的函数值都只有一个,这种函数称单值函数，否则称多值函数。

x例如，y?x2为单值函数.y??

x

为多值函数。

凡未作特别说明，本教材提到的“函数”