人教版高中数学选择性必修第二册5.3.2.3导数在函数有关问题及实际生活中的应用【同步教学课件】.pptx

第五章第三课时导数在函数有关问题及实际生活中的应用

1.能用导数解决函数的零点问题.2.体会导数在解决实际问题中的作用.3.能利用导数解决简单的实际问题.课标要求素养要求1.通过学习用导数解决生活中的优化问题，培养数学建模的核心素养.2.借助实际问题的求解，提升逻辑推理及数学运算的核心素养.

课前预习课堂互动分层训练内容索引

课前预习知识探究1

1.函数图象的画法函数f(x)的图象直观地反映了函数f(x)的性质.通常，按如下步骤画出函数f(x)的图象：(1)求出函数f(x)的________；(2)求导数f′(x)及函数f′(x)的______；(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分成若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的______，并得出f(x)的________与______；(4)确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的__________；(5)画出f(x)的大致图象.定义域零点单调性极值正负变化趋势

2.用导数解决优化问题的基本思路函数导数

点睛

1.思考辨析，判断正误(1)用导数研究实际问题要先求定义域.()(2)方程xex＝2有两个不相等的实数根.()√×

C解析由题意，f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，∵0≤x≤5，∴x＝1时，f′(x)的最小值为－1，即原油温度的瞬时变化率的最小值是－1.

C解析由题意得，y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去).当0x9时，y′0；当x9时，y′0.故当x＝9时，y取得极大值，也是最大值.

4.某产品的销售收入y1(万元)关于产量x(千台)的函数关系式为y1＝17x2，生产成本y2(万元)关于产量x(千台)的函数关系式为y2＝2x3－x2，已知x0，为使利润最大，应生产该产品________千台.解析由题意，利润y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝18x2－2x3(x0).y′＝36x－6x2，由y′＝36x－6x2＝6x(6－x)＝0，得x＝6(x＝0舍去)，当x∈(0，6)时，y′0，当x∈(6，＋∞)时，y′0，∴函数在(0，6)上为增函数，在(6，＋∞)上为减函数.则当x＝6时，y有最大值.6

课堂互动题型剖析2

题型一利用导数研究函数的图象B当x0时，y0，排除A；当x3时，y′0，当x3时，y′0，∴函数在(0，＋∞)上先增后减.故选B.当x0时，y0，排除A；当x→＋∞时，y→0.故选B.

根据解析式判断函数的图象时，综合应用各种方法：如判断函数的奇偶性，定义域、特殊值和单调性，有时还要用导数研究函数的极值点，甚至最值等.思维升华

【训练1】函数f(x)＝ex2－2x2的图象大致为()A

题型二利用导数解决函数的零点或方程的根问题f′(x)及f(x)随x的变化情况如下表：x(0，e1－a)e1－a(e1－a，＋∞)f′(x)＋0－f(x)极大值所以f(x)的单调递增区间为(0，e1－a)，单调递减区间为(e1－a，＋∞).

(2)当a≤1时，求函数f(x)在区间(0，e]上零点的个数.①当a＝1时，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，e)上单调递减.又f(1)＝0，故f(x)在区间(0，e]上只有一个零点.②当a1时，1－a0，e1－a1，综上，当a＝1时，f(x)在区间(0，e]上只有一个零点，当a1时，f(x)在区间(0，e]上无零点.

与函数零点有关的问题，往往利用导数研究函数的单调性和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，讨论图象与x轴的位置关系.(或者转化为两个熟悉函数的图象交点问题)确定参数的取值范围.思维升华

解对f(x)求导得f′(x)＝3ax2－b，

(2)若方程f(x)＝k有3个不同的实数根，求实数k的取值范围.解由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2).令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.∴当x－2或x2时，f′(x)0；当－2x2时，f′(x)0.

题型三导数在生活实际问题中应用

(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.所以商场每日销售该商品所获得的利润从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)·(x－6)，

由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点，所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3，4)4(4，6)f′(x)＋0－f(x)极大值42

解决利润最大问题的思路及注意点(1)利润最大问题是生活中常见的一