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动点问题

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.

关键:动中求静.

数学思想：分类思想 数形结合思想转化思想

1、如图1，梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm, 点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2cm/秒的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。

当t= 时，四边形是平行四边形；6当t= 时，四边形是等腰梯形.8

2、如图2，正方形ABCD 的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点，则DN+MN 的最小值为 5

3、如图，在Rt△ABC中，ACB90°，B60°，BC2．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为．

①当 度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为；

②当 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD的长为 ；

l当90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由． EC

l

解：（1）①30，1；②60，1.5； O

（2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形.

∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED.∵CE//AB,∴四边形EDBC 是平行四边形 A D B在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300.

C1AC

C

∴AB=4,AC=2 3.∴AO=2 = 3.在Rt△AOD 中，∠A=300，∴AD=2. O

∴BD=2. ∴BD=BC. 又∵四边形EDBC 是平行四边形，

∴四边形EDBC 是菱形

A B

（备用图）

4、在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C，且AD⊥MN 于D，BE⊥MN 于E.

MM D C MC C

M

E N

D E

A B A

图1

B

E

图2 N

A B

D

N 图3

(1)当直线MN 绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD ＋BE；(2)当直线MN 绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE ；

(3)当直线MN 绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.

解：（1）① ∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90°

∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC≌△CEB

② ∵△ADC≌△CEB ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE

∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC

∴△ACD≌△CBE ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE

当MN 旋转到图3的位置时，DE=BE-AD( 或AD=BE-DE ，BE=AD+DE 等)

∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE，又∵AC=BC ，

∴△ACD≌△CBE， ∴AD=CE ，CD=BE， ∴DE=CD-CE=BE-AD.

，5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点． AEF 90

，

且EF交正方形外角 DCG 的平行线CF于点F，求证：AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB的中点 M，连接 ME，则AM=EC，易证

△AME≌△ECF，所以AE EF．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

DF解：（1）正确．

D

F

DF证明：在AB上取一点M，使AM EC，连接ME．

D

F

BM BE． BME