高等数学下册电子教案版.docx

……………必威体育精装版资料推荐…………………

……………必威体育精装版资料推荐…………………

PAGE

PAGE1

第四章 常微分方程

§4．1 基本概念和一阶微分方程

甲 内容要点

一．基本概念1．常微分方程

含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程，若未知函数是一元函数则称为常微分方程，而未知函数是多元函数则称为偏微分方程，我们只讨论常微分方程，故简称为微分方程，有时还简称为方程。

2．微分方程的阶

微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶3．微分方程的解、通解和特解

满足微分方程的函数称为微分方程的解；

通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解；通解有时也称为一般解但不一定是全部解；

不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。4．微分方程的初始条件

要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定的值，这种条件称为初始条件，满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。

积分曲线和积分曲线族

微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。

线性微分方程

如果未知函数和它的各阶导数都是一次项，而且它们的系数只是自变量的函数或常数，则称这种微分方程为线性微分方程。不含未知函数和它的导数的项称为自由项，自由项为零的线性方程称为线性齐次方程；自由项不为零的方程为线性非齐次方程。

二．变量可分离方程及其推广

变量可分离的方程

方程形式：dy PxQy

dx

Qy 0

通解 dy Pxdx CQy

（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）

方程形式：M xN ydx M xN ydy 0

1 1 2 2

M

通解 1

M

2

xdx N2

x N

1

ydy C M

y 2

x 0,N y 0

1

变量可分离方程的推广形式

dy y

齐次方程 f

dx x

令y u，

x

则dy u xdu fu

dx dx

du dx c ln|x|cfu u x

dy fax by ca 0,b 0dx

令ax by c u，

则du a bfudx

du

a bfu

dx x c

dy

ax by c

f 1 1 1

dx ax by c

2 2 2

a1b10

a

1

b

1

0情形，先求出

ax

1

b

1

y

c

1

0

a

b

ax

by

c

0

2

2

2

2

2

令u x ，v y

1a bv

1

则dv f

du

au bv

1 1

f 1u

v

属于齐次方程情形

au bv

2 2

a b

2 2u

a

②当 1

a

2

b

1 0情形，

b

2

a b

令 2 2

a b

1 1

则dy f

ax by c

1 1 1

dx ax by c

1 1 2

令u ax by，

1 1

du dy u c

则 a

dx 1

b a bf 1

1dx 1 1 u c

2

属于变量可分离方程情形。三．一阶线性方程及其推广

一阶线性齐次方程

dy Pxy 0dx

它也是变量可分离方程，通解公式y Ce

一阶线性非齐次方程

dy Pxy Qxdx

用常数变易法可求出通解公式

Pxdx，（c为任意常数）

令y Cxe

Pxdx

代入方程求出Cx

则得y ePxdx QxePxdxdx C

贝努利方程

dy Pxy Qxy 0,1dx

令z y1

把原方程化为dz 1 Pxz 1 Qx

dx

再按照一阶线性非齐次方程求解。

方程：

dy 1

dx Qy Pyx

可化为dx Pyx Qydy

以y为自变量，x为未知函数

再按照一阶线性非齐次方程求解。四．全微分方程及其推广（数学一）1．全微分方程

Px,ydx Qx,ydy 0，满足 Q P

x y

通解：ux,y C，

其中ux,y满足dux,y Px,ydx Qx,ydy

求ux,y的常用方法。第一种：凑全微分法

Px,ydx Qx,ydy dux,y

把常见的一些二元函数的全微分公式要倒背如流，就很有帮助。

（1）

（2）

xdx ydy d

xdx ydy d

x2 y2

；

2

x2 y2

；

2

ydx xdy dxy；

ydx xdy dlnxy；

xy

xdx ydy 1

d lnx2

y2 ；

x2