高考解答题专项训练3.docx

高考解答题专项训练(三) 数列

n1．(2019·咸阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝60°，三边a，b，c成等比数列，且面积为4 3，在等差数列{a}中，a＝4，公差为b.

n

1

求数列{an}的通项公式；

数列{c

}满足c＝16

，设T

为数列{c

}的前n项和，求T.

n n a

a n n nn n＋1

解：(1)由a，b，c成等比数列得b2＝ac，

因为S

＝4 3 1 sinB，所以b＝4，

△ABC

＝ac

2

nn所以{a}是以4为首项，以4为公差的等差数列，其通项公式为a＝4n.

n

n

(2)由(1)可得c＝

1 1 1 ，

n n?n＋1?＝n－n＋1

? 1? ?1 1?

?1 1 ? 1 n

T＝?1－

?＋?

—?＋…＋?n－

?＝1－ ＝ .

n ? 2? ?2 3?

? n＋1?

n＋1 n＋1

3 5 n2．(2019·安徽淮南一模)已知数列{an}为等差数列，且a＝5，a＝9，数列{b

3 5 n

2 1

的前n项和为S＝b＋.

n 3 n 3

n求数列{an}和{b}的通项公式；

n

n n n n n设c＝a|b|，求数列{c}的前n项和T

n n n n n

n解：(1)∵数列{a}为等差数列，且a＝5，a＝9，

n

3 5

a－a 9－5

∴d＝

5

5－3

3＝2 ＝2，

∴a＝a－2d＝5－4＝1，

1 3

∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.

的前n项和为S＝b＋，∵数列{b

的前n项和为S

＝

b

＋

，

n

∴n＝1

n 3 n 3

时，S＝b＋，

时，S

＝

b

＋

，

1 3 1 3

由S＝b，解得b＝1，

1 1 1

当n≥2时，b

＝S－S

2 2 ，

n n n－1

＝3bn

—b

3 n－1

∴bn＝－2bn－1，∴{bn}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴bn＝(－2)n－1.(2)cn＝an|bn|＝(2n－1)·2n－1，

n n∴数列{c}的前n项和T＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，

n n

n∴2T＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)×2n，两式相减，得：

n

－2－2n

－

nT＝1＋2(2＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)·2n＝1＋2×1－2－(2n－1)·2n＝1＋2n＋

n

1－4－(2n－1)·2n＝－3＋(3－2n)·2n，

n∴T＝(2n－3)·2n＋3.

n

n n3．已知等差数列{a}的公差为2，前n项和为S，且S，S，S

n n

1 2 4

(1)求数列{an}的通项公式；

n4n

n

(2)令bn＝(－1)n－1a

a ，求数列{bn}的前n项和T.

n n＋1

2×1

解：(1)因为S

＝a，S

＝2a＋ ×2＝2a

＋2，

S＝4

1 1 2 1 2 1

a＋×2＝4a

a

＋

×2＝4a

＋12，

4 1 2 1

所以由题意得(2a＋2)2＝a(4a＋12)，

1 1 1

解得a＝1，

1

n所以a＝2n－1.

n

4n

(2)bn＝(－1)n－1aa

n n＋1

4n

＝(－1)n－1?2n－1??2n＋1?

? ?? 1 ＋

? ?

＝(－1)n－1?2n－1 2n＋1?.

当n为偶数时，

?1 1? ?1 1?

? 1 ＋

1 ? ? 1

＋ 1 ? 1

T＝?

＋?－?

＋?＋…＋?

?－?

?＝1－ ＝

n ?

2n

2n＋.

3? ?3 5?

?2n－3

2n－1? ?2n－1

2n＋1?

2n＋1

1

当n为奇数时，

?1 1? ?1 1?

? 1 ＋

1 ? ? 1

＋ 1 ? 1

T＝?

＋?－?

＋?＋…－?

?＋?

?＝1＋ ＝

n ?

2n＋2

3? ?3 5?

?2n－3

2n－1? ?2n－1

2n＋1?

2n＋1

12n＋.

1

?2n＋2

?2n＋1，n为奇数，

?? 2n＋1＋?－1?n－1?

?

所以T＝

?n 2n

?

或T＝

n

2n＋1 ?

? ?

12n＋，n为偶数.

1

4．(2019·烟台模拟)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象过点(－4n,0)，且f′(0)

1 ?1?

＝2n，n∈N*，数列{a

}满足 ＝f′? ?，且a

＝4.

an

a

n＋1

?an??1