初中数学知识点 2012.docx

圆

第一节圆和圆的基本性质

圆的定义

在一个平面内，绕固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆。固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。

圆上各点到定点的距离都等于定长（半径r）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。

圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长的点的集合。

有关概念

弦：连接圆上任意两点的线段

直径：经过圆心的弦

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称为弧

等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧

优弧：大于半圆的弧（用三个点表示）

劣弧：小于半圆的弧

半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆

等圆：能够重合的两个圆。半径相等的两个圆（同圆或等圆的半径相等）

弦心距：

同圆：

同心圆：

“三点定圆”定理

不在同一直线上的三个点确定一个圆。

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直与弦，并且平分弦所对的两条弧。

“等对等”定理及其推论

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。

确定条件：圆心确定位置，半径确定大小

圆的对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。中心对称图形，对称中心是圆心

点与圆的位置关系

设圆的半径为R，一点到圆心的距离为d，

点在圆外?d?R；点在圆上?d?R；点在圆内?d?R。第二节直线和园的位置关系

1.三种位置及判定与性质：

dR 直线与圆相离

d=R 直线与圆相切

dR 直线与圆相交

5、直线和圆的位置关系及其数量特征：

直线和圆

相交

相切

相离

的位置

D与r的关

系

dr

d=r

dr

公共点个

数

2

1

0

公共点名

称

交点

切点

无

直线名称

割线

切线

无

6、有关定理和概念切线的判定定理：

①经过半径的外端并且垂直与这条半径的直径是圆的切线

②

③

切线的性质定理：圆的切线垂直与过切点的半径推论：

切线长定理：从园外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

三角形的内切圆和内心：

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。

第三节 与圆有关的角与圆有关的角：

⑴圆心角：顶点在圆心的角

⑵圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。（在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。）

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90o的圆周角所对的弦是直径。

（与圆心角的关系）

⑶弦切角定义（弦切角定理）

圆心角定理，圆周角定理，弦切角定理，

圆内接四边形定理以及相关概念，

圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。

圆内接四边形的对角互补。

如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。与圆有关的比例线段

与圆有关的比例线段

相交弦定理

切割线定理

1、和圆有关的线段间的比例关系可列表如下：

相交弦定理及推

相交弦定理及推

论1

条

弦

切割线定理及推论

2

弦 CD PT是⊙ PAB、

件

件

AB,CD

相交于P

⊥直径

O 的切

AB

交

线，PAB

PCD均

为⊙O

点

于P点

是⊙O

的割线

的割线

图

形

图80401

图

80402

图80403

图

80404

结

PA·PB

PC2=P

PT2=PA

PA·P

论

=PC·PD

A·PB

PB

B=PC

PD

2、可深化得出的结论：PA·PB为常数。设⊙O的半径为R，对于相交弦则有PA·PB＝R2-OP2,

对于切割线则有PA·PB＝OP2-R2。

3、解题方法：①直接应用相交弦定理，切割线定理及其推论；②找相似三角形，当不能直接运用定理和推论时，通常用添加辅助线的方式以证明三角形相似得证。

第四节圆和圆的位置关系

五种位置关系及判定与性质：(重点：相切)

dR+r 外离

d=R+r 外切

R-rdR+r 相交

d=R-r 内切

dR-r 内含

相切（交）两圆连心线的性质定理

两圆的公切线：⑴定义⑵性质

1、五种位置关系及其数量特征（注意“数形结合”）。

相切

相切

相离

两圆位置

关系

相交

外切

内切

外离

内含

d与R、r

的关系

R-rdR+r

(Rr)

d=

R+r

d=

R-r(Rr)

d

R+r

d

R-r(