专题01 与三角形的边有关（解析版）.pdf

专题01与三角形的边有关的四种题型

类型一、利用三边关系简绝对值

例．若a，b，c是△ABC的三边，则化简a-b-c-b-a-c的结果是()

A．2a-2bB．2b-2a

C．2cD．0

【答案】B

【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得

到a-b-c0，b-a-c＜0，再根据绝对值的性质进行化简计算.

【详解】根据三角形的三边关系，得

a-b-c0，b-a-c0

∴原式=-(a-b-c)--(b-a-c)=-a+b+c+b-a-c=2b-2a

故选B.

【点睛】本题考查三角形三边关系和绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系.

【变式训练】按要求完成下列各小题.

(1)在△ABC中，AB=8，BC=2，AC的长为偶数，求△ABC的周长；

(2)已知△ABC的三边长分别为3，5，a，化简a+1-a-8-2a-2.

【答案】(1)△ABC的周长为18

(2)a+1-a-8-2a-2=-3

【分析】（1）根据三角形的三边关系以及AC的长为偶数，即可求得AC的长，从而即可得

解；

（2）根据三角形的三边关系可求得AC的取值范围，从而化简不等式计算即可.

【详解】（1）解：根据三角形的三边关系得：8-2AC8+2，即6AC10.

∵AC为偶数，

∴AC=8，

∴△ABC的周长为8+2+8=18；

（2）解：∵△ABC的三边长分别为3，5，a，

∴5-3a3+5，解得2a8，

∴a+1-a-8-2a-2

=a+1-(8-a)-2(a-2)

=a+1-8+a-2a+4=-3.

【点睛】本题主要考查了三角形的三边间的关系，熟记三角形的两边之和大于第三边，两边

之差小于第三边是解题的关键.

类型二、确定三边的范围

例．三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有个.

【答案】3

【分析】根据周长小于13，三角形三边为互不相等的整数，三角形两边之和大于第三边，

两边之差小于第三边可确定三边可选的数字为2、3、4、5，由此可得这样的三角形以及个

数.

【详解】解：根据三角形的两边之和大于第三边以及三角形的周长小于13，则其中的任何

一边不能超过6.5；

根据三角形各边为整数，所以任何一边都大于1，且小于6，故三边可选的数字为2、3、4、

5；

根据各边不相等可得，三边可以为：2、3、4；2、4、5；3、4、5；

故这样的三角形共有3个，

故答案为：3.

【点睛】本题考查三角形三边关系，涉及分类讨论的思想．解答的关键是找到三边的取值范

围及对三角形三边的理解把握.

【变式训练1】△ABC的两边长为4和3，则第三边上的中线长m的取值范围是.

【分析】作出草图，延长AD到E，使DE=AD，连接CE，利用“边角边”证明△ABD和△ECD

全等，然后根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，再根据三角形的任意两边之和大于第三

边，两边之和小于第三边求出AE的取值范围，便不难得出m的取值范围.

【详解】解：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接CE，

∵AD是△ABC的中线，

∴BD=CD，

在△ABD和△ECD中，

∴△ABD≌△ECD（SAS），

∴CE=AB，

∵AB=3，AC=4，

∴4-3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7，

∴m.

故答案为.

【点睛】本题主要考查倍长中线法构造全等三角形和三边关系，解决本题的关键是要熟练掌

握倍长中