专题03 全等三角形的六种模型全梳理（原卷版）（人教版） .pdf

专题03全等三角形的六种模型全梳理

几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三

角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。

类型一、倍长中线模型

目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。将分散的条件集中到一个三角形中。

例1．【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE=AD，

连接BE．请根据小明的方法思考：

（1）如图2，由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是.

A．SSSB．SASC．AASD．ASA

（2）如图2，AD长的取值范围是.

A．6AD8B．6≤AD≤8C．1AD7D．1≤AD≤7

【感悟】

解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的

已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中.

【问题解决】

（3）如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF.

例2．（培优）已知△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，7ACB=7DCE=90O，连接AD,BE，

点F为BE中点.

如图1，求证：BF=

(2)将△DCE绕C点旋转到如图2所示的位置，连接AE,BD，过C点作CMTAD于M点.

①探究AE和BD的关系，并说明理由；

②连接FC，求证：F，C，M三点共线.

【变式训练1】如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AB=2AE.

【变式训练2】（1）如图1，已知△ABC中，AD是中线，求证：AB十AC2AD；

（2）如图2，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB十ACAD十AE；

（3）如图3，在△ABC中，D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AB十ACAD十AE.

【变式训练3】（1）阅读理解：

如图①,在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方

法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180。得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系

即可判断中线AD的取值范围是；

（2）问题解决：

如图②,在△ABC中，D是BC边上的中点，DETDF于点D，DE交AB于点E，DF交AC

于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；

（3）问题拓展：

如图③,在四边形ABCD中，7B+7D＝180O，CB＝CD，7BCD＝100O，以C为顶点作一

个50O的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间

的数量关系，并说明理由.

类型二、截长补短模型

截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2次全等）

例1．如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，CA平分7BCD，7CAD=7BAE.

(1)求证：CD=BC+DE；

(2)若7B=75O，求7E的度数.

例2．（培优）在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于点F.

（1）求证：上BFC=90O+

（2）已知上A=60O.

①如图1，若BD=4，BC=6.5，求CE的长；

②如图2，若BF=AC，求上AEB的大小.