高中导数练习题.docx

导数

【考点透视】

了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．

熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．

理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．

【例题解析】

考点1 导数的概念

对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理

解导函数的概念.

例1． f?(x)是f(x)?1

3

x3?2x?1的导函数，则f?(?1)的值是 ．

[解答过程]?f?(x)?x2

?2,?f?(?1)???1?2

?2?3.

例2.设函数

( )

x?a

f(x)?

x?1

,集合M={x|f(x)?0},P={x|f

(x)?0},若M P,则实数a的取值范围是

A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D.[1,+∞)

[解答过程]由x?a

x?1

?0,?当a1时,1?x?a;当a1时,a?x?1.

x?a

?x?a?/ x?1??x?a? a?1

??

?

?

?y?

,?y/??

?

? ?? ? ?

2

2

?0.

?2

?

x

?a?1.

1 ?x 1?

x?1

x?1

综上可得M P时,

?a?1.

例3.若曲线y?x4的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直，则l的方程为（ ）

4x?

C．4x?

y?3?0 B．x?4y?5?0

y?3?0 D．x?4y?3?0

[解答过程]与直线x?4y?8?0垂直的直线l为4x?y?m?0，即y?x4在某一点的导数为4，而y??4x3，所以y?x4在(1，1)处导数为4，此点的切线为4x?y?3?0.

故选A.

例4.已知两抛物线C :y?x2?2x,C :y??x2?a, a取何值时C，C有且只有一条公切线，

1 2 1 2

求出此时公切线的方程.

解答过程：函数y

?x2?2x的导数为y

?2x?2，曲线C在点P(x,x2

1 1 1

2x)处的切线方程为

1

y?(x2

1

?2x)?2(x?2)(x?x)，即y?2(x?1)x?x2 ①

1 1 1 1 1

曲线C在点Q(x,?x2?a)的切线方程是y?(?x ?a)??2x(x?x)即

1 2 2 2 2 2

y??2xx?x2?a ②

2 2

若直线l是过点P点和Q点的公切线，则①式和②式都是l的方程，故得

x?1??x,?x21 2 1

?x2

2

?1，消去x 得方程，2x2?2x?1?a?0

21 1

2

若△=4?4?2(1?a)?0，即a

??1时，解得x

2 1

??1，此时点P、Q重合.

2

∴当时a??1，C和C

2 1 2

有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为

y

?x?1.

4

考点3 导数的应用

1..求函数的解析式;2.求函数的值域;3.解决单调性问题;4.求函数的极值（最值）;

5.构造函数证明不等式.

典型例题例5．函数

f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f?(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)

在开区间(a,b)内有极小值点（ ）

个

yy?f

y

y?f?(x)

b

a

O

x

C．3个

D．4个

[解答过程]由图象可见,在区间（a,b）内的图象上有2个极小值点.

故选B.

例6.设函数f(x)?2x3?3ax2?3bx?8c