高等代数习题及答案.docx

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高等代数试卷

一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）

1、p(x)若是数域F上的不可约多项式，那么p(x)在F中必定没有根。（ ）

2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ）

3、实二次型f(x,x

1 2

,?,x

n

)正定的充要条件是它的符号差为n。 （ ）

4、W???x,x,x?x

1 2 3 i

?R,i?1,2,3;x ?x

1 2

?x?是线性空间R3的一个子空间。（ ）

3

5、数域F上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ）

6、两个n元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 （ ）

7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ）

8、线性变换?的属于特征根?

0

的特征向量只有有限个。 （ ）

9、欧氏空间V上的线性变换?是对称变换的充要条件为?关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ）

10、若??,?

1 2

,?,?

n

?是欧氏空间V的标准正交基，且???n x?

i i

i?1

，那么

?ni?1x2

?n

i?1

x2

i

二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分）

?1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（）

?

①fn

?x?,gn

?x???

?f?x

?,g?x

?n；

②?f,f,?,f ??1??f,f ??1,?i?j,i,j?1,2,?,n?；

1 2 n i j

③?f?x?,g?x???f?x??g?x?,g?x?；

④若?f?x?,g?x??1??f?x??g?x?,f?x??g?x??1。2、设D是一个n阶行列式，那么（ ）

①行列式与它的转置行列式相等； ②D中两行互换，则行列式不变符号；

③若D?0，则D中必有一行全是零；④若D?0，则D中必有两行成比例。3、设矩阵A的秩为r(r1)，那么（ ）

①A中每个s(sr)阶子式都为零； ②A中每个r阶子式都不为零；

③A中可能存在不为零的r?1阶子式； ④A中肯定有不为零的r阶子式。

4、设f?x,x

1 2

,?,x

n

?为n元实二次型，则f?x,x

1 2

,?,x

n

?负定的充要条件为（ ）

①负惯性指数=f的秩； ②正惯性指数=0； ③符号差=?n； ④f的秩=n。

5、设??,?,?,? ?是线性空间V的一个向量组，它是线性无关的充要条件为

1 2 m

（ ）

①任一组不全为零的数k,k

1 2

,?,k

m

，都有?mk?

i i

i?1

?0；

②任一组数k,k

1 2

,?,k

m

，有?mk?

i i

i?1

?0；

③当k ?k

1 2

???k

m

?0时，有?mk?

i i

i?1

?0；

④任一组不全为零的数k,k

1 2

,?,k

m

，都有?mk?

i i

i?1

?0。

6、若W,W

1 2

都是n维线性空间V的子空间，那么（ ）

①维?W

1

③维?W

?+维?W

1

?+维?W

?W?=维?W

2 2

?W?=维?W

?+维?W

1

?+维?W

?W?； ②维?W

2 1

?W?；

?W?=维?W

2 1

?+维?W?；

2

1 1 2 2 1 2

④维?W

1

?-维?W

1

?W?=维?W

2 1

?W?-维?W?。

2 2

7、设?是n维线性空间V的线性变换，那么下列错误的说法是（ ）

①?是单射??的亏=0； ②?是满射??的秩=n；

③?是可逆的?核???=?0?； ④?是双射??是单位变换。

8、同一个线性变换在不同基下的矩阵是（ ）

①合同的； ②相似的； ③相等的； ④正交的。9、设V是n维欧氏空间，那么V中的元素具有如下性质（ ）

①若??,?????,??????； ②若???????；

③若??,???1???1； ④若??,??0????。10