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北方工业大学高等数学习题集
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北方工业大学 成绩
《高等数学》练习册
姓名
第十二章
练习一:数项级数
班级
学号
序号
一.选择与填空题
1.给定以下命题
①若??
(u ?u )收敛,则??
2n?1 2n
u 收敛;
n
n?1 n?1
②若??
u 收敛,则??
n
u
n?100
收敛; ③若limu
n?? n
?a?0,则??
u 发散;
n
n?1 n?1 n?1
④若??
(u ?v
n n
)收敛,则??
、??
n
都收敛;
n
n?1 n?1 n?1
则以上命题正确的是 [ ].
A.①②; B.②③; C.③④; D.①④
2.若??
、??
2n
2
收敛,则??ab
2n nn
2
[ ].
n?1 n?1 n?1
A.发散; B.条件收敛; C.绝对收敛; D.收敛性不定.
设a为常数,则级数??
n?1
(?1)n(1?cos
a) [ ].
n
A.发散; B.条件收敛; C.绝对收敛; D.敛散性与a有关.
?级数?
?
n?1
(?1)n?1
(p
np
?0)敛散性为 [ ].
A.p?1时绝对收敛, p?1时条件收敛;B.p?1时绝对收敛,p?1时条件收敛;
C.p?1时发散,p?1时收敛; D.对任何p?0时,均绝对收敛.
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n如果级数??
n
n?1
a 的部分和为常数a,则a1? ,an? (n?1时).
6.若??
a ?1,则??
n
(a ?a
n
n?1
)? .
n?1 n?1
7.设{s
}为级数??
a 的部分和,且??
s 收敛,则??
a ? .
n
二.计算题
n n n
n?1 n?1 n?1
判别下列级数的敛散性,若收敛,求其和:
(1)??
n?1
n
.
(n?1)!
(2)1?1?1? 1
3 5 32 10
?1? 1
33 15
???1
3n
1
? ??.
5n
判别下列正项级数的敛散性:(1)??
n?1
1 .2n?(?1)n
?(2)?
?
n?1
1 1?an
(a?0).
(3)??
n?1
ntan? .
3n
(4)??
n?1
1 .[ln(n?1)]n
?(5)?
?
n?1
3nn!
.
nn
判别下列级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛?
(1)??
n?2
(?1)n?1.
lnn
(2)??
(?1)n?2.
n?1
(?1)n?12n
四.证明题
n!
利用级数收敛的必要条件证明:lim
n??nn
?0.
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