高等数学下册第12章习题1.docx

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北方工业大学高等数学习题集

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北方工业大学 成绩

《高等数学》练习册

姓名

第十二章

练习一:数项级数

班级

学号

序号

一.选择与填空题

1.给定以下命题

①若??

(u ?u )收敛,则??

2n?1 2n

u 收敛;

n

n?1 n?1

②若??

u 收敛,则??

n

u

n?100

收敛; ③若limu

n?? n

?a?0,则??

u 发散;

n

n?1 n?1 n?1

④若??

(u ?v

n n

)收敛,则??

、??

n

都收敛;

n

n?1 n?1 n?1

则以上命题正确的是 [ ].

A.①②; B.②③; C.③④; D.①④

2.若??

、??

2n

2

收敛,则??ab

2n nn

2

[ ].

n?1 n?1 n?1

A.发散; B.条件收敛; C.绝对收敛; D.收敛性不定.

设a为常数,则级数??

n?1

(?1)n(1?cos

a) [ ].

n

A.发散; B.条件收敛; C.绝对收敛; D.敛散性与a有关.

?级数?

?

n?1

(?1)n?1

(p

np

?0)敛散性为 [ ].

A.p?1时绝对收敛, p?1时条件收敛;B.p?1时绝对收敛,p?1时条件收敛;

C.p?1时发散,p?1时收敛; D.对任何p?0时,均绝对收敛.

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n如果级数??

n

n?1

a 的部分和为常数a,则a1? ,an? (n?1时).

6.若??

a ?1,则??

n

(a ?a

n

n?1

)? .

n?1 n?1

7.设{s

}为级数??

a 的部分和,且??

s 收敛,则??

a ? .

n

二.计算题

n n n

n?1 n?1 n?1

判别下列级数的敛散性,若收敛,求其和:

(1)??

n?1

n

(n?1)!

(2)1?1?1? 1

3 5 32 10

?1? 1

33 15

???1

3n

1

? ??.

5n

判别下列正项级数的敛散性:(1)??

n?1

1 .2n?(?1)n

?(2)?

?

n?1

1 1?an

(a?0).

(3)??

n?1

ntan? .

3n

(4)??

n?1

1 .[ln(n?1)]n

?(5)?

?

n?1

3nn!

nn

判别下列级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛?

(1)??

n?2

(?1)n?1.

lnn

(2)??

(?1)n?2.

n?1

(?1)n?12n

四.证明题

n!

利用级数收敛的必要条件证明:lim

n??nn

?0.

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