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第一章 函数与极限

集合与函数

集合的概念

具有某种特定性质的事物的的全体。

全体非负整数（自然数）构成的集合{0,1,2,3......}记为N。

全体正整数构成的集合{1,2,3....}记为。

全体整数构成的集合{....-1,0,1,2....}(记为Z).

全体实数构成的集合R.

基本初等函数和初等函数反对幂指三是基本初等函数.

将基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算所得到的且能用一个式子表示的函数称为初等函数.

极坐标与直角坐标系的关系

x??cos?

{

??

x2?

x2?y2

y??sin?

几种特殊性质的函数(1)有界函数

tan

? (x?0)

x

F(x)在x上有界的充分必要条件为:存在常数M0,使得|f(x)|≦M,

对任意x属于X.这时称风f(x)在x上有一个界.(2)奇偶函数

F(x)=f(-x),称为偶函数.

F(-x)=-f(x),称为奇函数.(3)周期函数

f(x+L)=f(x)恒成立,称f(x)为周期函数.L为f(x)的最小正周期.

极限

数列极限的定义

nn n设有数列{a},若存在常数a，对任意给定的ε0,总存在正整数N，当nN时，恒有|a-a|ε成立，则数列{a}以a

n

n n

,或lima ?a

,或

n

n??

a ?a

n

(a??).

n此时称数列{a

n

}收敛于常数a，或简称数列收敛.反之数列{a

}没有极

n限，或称它为发散.

n

数列极限的性质(1)（极限的唯一性）如果数列{a

n}收敛，那么它的极限必唯一.

n

(2)（有界性）收敛数列必定有界.

1

(3)（保号性）设有数列{a

} {b

，n

，

}分别收敛于a,b,并且ba,那么存在

nn n正整数N，当nN时，恒有ba

n

n n

(4)设有数列{a

} {b

，n

，

}分别收敛于a,b,并且存在正整数Ｎ，当ｎ＞Ｎ

nn n时，恒有b ?a，那么b?

n

n n

（5）数列}收敛于a的充分必要条件是它的任何一个子集数列都收敛于a.

函数极限

（1）设函数f(x)在的某去心邻域有定义.若存在常数Ａ，使

0对任给的ε 0，总存在δ＞０，当０＜｜ｘ－x｜＜δ时，恒有

0

x?x

｜ｆ（ｘ）－Ａ｜＜ε恒成立，则称当 0时，ｆ（ｘ）以Ａ

为极限．记作：

limf(x)

x?x

0

＝Ａ或

f(x)?

A，当x?x．

0（２）函数极限的性质１.（唯一性）如果存在，那么极限是唯一的。２.（局部有界性）如果存在，那么存在常数ｍ，Ｍ和δ＞０，使

0

0得当０＜｜ｘ－x｜＜δ时，恒有

0

ｍ≦ｆ（ｘ）≦Ｍ．３．局部保号性

４.如果函数在

x

0的某去心邻域有定义并且

lim

x?x

0

f(x)

＝Ａ．如果

n0n{x}是一个在该去心领域取值的数列，x ?x（ｎ＝１,2,. )

n

0

n

lim ?x

且n??

0则有

limf(x)

n?? n＝Ａ．

lim

f(x)?A

limg(x)

５．如果x?x ，x?x

0 0

＝Ｂ，并且存在常数δ＞０，使

0得当０＜｜ｘ－x｜＜δ，有f(x)?g(x)，那么Ａ?Ｂ。

0

３极限存在的准则与两个重要极限

2

３.１（夹逼准则）设数列

{x}

n

{y }

， n，

{z}

n 满足

0 0（１）从某一项起，即存在正整数N ，当ｎ＞N

0 0

{x}

n

{y }

≦ n

{z}

≦ n ；

limx ?limz ?a

（２）

n

n??

n

n??

．那么

limy

n??

n＝ａ

?

?e

lim

x?0

sinx?1

x

lim(1?1)x

xx??

x

４ 无穷小量与无穷大量

４.１在自变量的某一变化过程中，ｆ（ｘ）＝Ａ的充分必有条件是ｆ（ｘ）＝Ａ＋φ，其中φ是在自变量同一变化过程中的无穷小。

无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量。

设α,β为同一过程下的无穷小，且α≠0.如果

?

lim?

?0

，称β是比α高阶的无穷小，记作β=o(α)（这时也称α是

比β低阶的无穷小）；

?

lim?

?

lim?

?

lim

?c?0

,称ɑ与β是同阶无穷小；

?1

，称ɑ与β是等价无穷小，记作α~β；

?c