高二数学选修22导数12种题型归纳.docx

导数题型分类解析（中等难度）

一、变化率与导数

?y f(x

Δx)?f(x)

函数y?f(x

0

)在x 到x

0 0

+?x之间的平均变化率，即f(x

0

)=lim

?x?0

=lim 0

?x?x?0 Δx

?x

0 ，表示

函数y?f(x)在x 点的斜率。注意增量的意义。

0 0

f(x

h)?f(x

h)

例1：若函数y?f(x)在区间(a,b)内可导，且x

0

?(a,b)则lim 0 0

h?0 h

的值为（ ）

f(x

0

) B．2f(x

0

) C．?2f(x0

) D．0

f(x?h)?f(x?3h)

例2：若f(x

0

)??3，则lim 0 0 ?（ ）

h?0 h

A.?3 B．?6 C．?9 D．?12

例3：求lim

f(x

0

?h2)?f(x)

0

h?0 h

二、“隐函数”的求值

将f(x)当作一个常数对f(x)进行求导，代入x进行求值。

0 0 0

例1：已知f?x??x2

?3xf??2?，则f??2??

例2：已知函数

f?x??f????cosx?sinx，则

? ?

? ?

???

f?4?的值为 .

f

? ? ? ?

例3：已知函数f(x)在R上满足f(x)?2f(2?x)?x2?8x?8，则曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为（ ）

A. y?2x?1 B. y?x C. y?3x?2 D. y??2x?3

三、导数的物理应用

如果物体运动的规律是s=s（t），那么该物体在时刻t的瞬间速度v=s′（t）。

如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v（t），则该物体在时刻t的加速度a=v′（t）。

例1：一个物体的运动方程为s?1?t?t2其中s的单位是米，t的单位是秒，求物体在3秒末的瞬时速度。

例2：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是（ ）

s s s s

O t O

B．

t O tO t

C． D．

四、基本导数的求导公式

? ??①C??0;（C为常数） ②

? ??

?nxn?1; ③(sinx)??cosx; ④(cosx)???sinx;

⑤(ex)??ex; ⑥(ax)??axlna; ⑦?lnx???

例1：下列求导运算正确的是( )

1; ⑧?log

x a

x???

1log e.x a

? 1?? 1

? ?? 1

? ??

? ??

A．?x? ? ?1?

log x

?= C．3x

?3xlog

e D． x2cosx ??2xsinx

? x? x2

2 xln2 3

例2：若f

0

?x??sinx,f

1

?x??f

??x?,f

0 2

?x??f

??x?,??，f

1

n?1

?x??f

??x?,n?N，则f

n

2005

?x??

五、导数的运算法则

常数乘积：(Cu)

?Cu. 和差：(u?v)

?u

?u?

?u

?v.

乘积：(uv)

?uv?uv. 除法：? ? ?

?v?

uv?uvv2

例1：（1）函数y?x3?log

2

六、复合函数的求导

x的导数是 （2）函数xne2x?1的导数是

f?[?(x)]?f?(?)*??(x)，从最外层的函数开始依次求导。

1

例1：（1）y?(1?cos2x)3

七、切线问题

（曲线上的点求斜率）

（2）y?sin2

x

例1：曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( )A．30° B．45° C．60° D．120°

例：对正整数n,设曲线y?xn?1?x?在x?2处的切线与y轴的交点的纵坐标为a,则

n

?a ?

数列? n ?的前n项和为S

?n?1? n

（曲线外的点求斜率）

???.

例1：已知曲线y?x2，则过点P(1,?3)，且与曲线相切的直线方程为 .

例2：求