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高考解答题专项训练（六） 概率与统计

1．(2019·广州测试)某工厂生产的A产品按每盒10件包装，每盒产品需检验合格后方可出厂，检验方案是：从每盒的10件产品中任取4件进行检验，若4件都为合格品，则认为该盒产品合格且其余产品不再检验；若4件中次品数多于1

件，则认为该盒产品不合格且其余产品不再检验；若4件中只有1件次品，则把

剩余的6件逐一抽取出来检验，若没有检验出次品，则认为该盒产品合格，若检验出次品，则认为该盒产品不合格且首次检验出次品即停止检验．假设某盒A产品中有8件合格品，2件次品．

求该盒A产品可出厂的概率；

已知每件产品的检验费用为10元，设该盒A产品的检验费用为X(单位：元)．

(ⅰ)求P(X＝40)；

(ⅱ)求X的分布列和数学期望E(X)．

解：(1)依题意，若该盒A产品可出厂即任取的4件产品都为合格品，

从10件中任取4件的基本事件数为C4，4件都为合格品的事件数为C4，

10 8

C4 1

故该盒A产品可出厂的概率P＝ 8＝.

C4 3

10

(2)(ⅰ)X＝40表示只检验了4件产品就停止检验，

记“从该盒的10件产品中任取4件产品都为合格品”为事件T，

1

“从该盒的10件产品中任取4件产品，其中2件为合格品，2件为次品”为

事件T，

2

事件T 与事件T 为互斥事件，

1 2

则P(X＝40)＝P(T

)＋P(T)

1 C2C2 7

＝＋＝

＝＋

8 2

1 2 3 C4 15

10

(ⅱ)X的所有可能取值为40,50,60,70,80,90,100，

P(X＝40)

7

＝15，

C3C1

C1 4

4 × ＝ ，P(X＝50)

4 × ＝ ，

8 2 1

C C1 45

10 6

C3C1

C1 C1 4

P(X＝60)＝

842×

5×1＝ ，

C C1 C1 45

10 6 5

C3C1

C1 C1 C1 4

P(X＝70)＝

842×

5×4×1＝ ，

C C1 C1 C1 45

10 6 5 4

同理，P(X＝80) 4 (X＝90) 4

P(X＝100)

＝45，P

4

＝45，

＝45，

所以X的分布列为：

40

50

60

70

80

90

100

7

4

4

4

4

4

4

15

45

45

45

45

45

45

XP所以E(X)＝40×7

X

P

＋50×4

＋60×4

＋70×4

＋80×4

＋90×4

＋100×4

176

＝3 .

15 45 45

45 45 45 45

2．(2019·南昌调研)微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众号．手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK 或点赞．现从小明的微信好友中随机选取40人(男、女各20人)，记录他们某一天行走的步数，并将数据整理如下表：

若某人一天行走的步数超过8000步被评定为“积极型”，否则被评定为“懈怠型”，根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？

积极型

积极型

懈怠型

总计

男

女总计

在小明这40位好友中，从该天行走的步数超过10000步的人中随机抽取3

人，设抽取的女性有X人，求X的分布列及数学期望E(X)．

n?ad－bc?2

附：K2＝?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?，

P(K2≥k)

0.10

0.05

0.010

0.005

0.001

k

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

解：(1)2×2列联表如下：

积极型

懈怠型

总计

男

13

7

20

女

8

12

20

总计

21

19

40

40×?13×12－7×8?2

∴K2＝

20×20×21×19

≈2.5062.706，

∴没有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关．

(2)由已知得，小明这40位好友中，该天行走的步数超过10 000步的人中男性有6人，女性有2人，现从中抽取3人，抽取的女性人数X服从超几何分布，

C3 20 C1C2 30

X的所有可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝6＝ ，P(X＝1)＝2 6＝ ，P(X＝2)

C3 56 C3 56

8 8

C1C2 6

＝632＝ ，

C 56

8

XP∴X

X

P

0

1

2

20

30

6

56

56

56

20 30 6 3

∴E(X)＝0×56＋1×56＋2×56＝4.

年份