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如何由递推公式求通项公式
高中数学递推数列通项公式的求解是高考的热点之一，是一类考查思维能力的题型，要求考生进行严格的逻辑推理。找到数列的通项公式，重点是递推的思想：从一般到特殊，从特殊到一般；化归转换思想，通过适当的变形，转化成等差数列或等比数列，达到化陌生为熟悉的目的。
下面就递推数列求通项的基本类型作一个归纳，以供参考。
aa
a
n类型一：a
n
n?1?a
?f(n) 或
n?1?g(n)
n
a分析：利用迭加或迭乘方法。即：
a
n
?(a?a
)?(a
n?1
an?2
)?……+(a
a)?a
an?1 n?2aa1n?11an21
a
n?1 n?2
a
a
1
n?1
1
a
n
2
1
a
?
a
a
或
n 1
例1.(1)已知数列?a?满足a
?1,a
?a?
1 ，求数列?a?的通项公式。
n 1 2
n?1 n n
n2?n（2）已知数列?
n2?n
?1,s
?(n?1)a
n，求数列?a?的通项公式。
n
2解：（1）由题知：a
2
1
n2?n?a
n2?n
n n
1n(n?1)nn?1
1
n(n?1)
n
n?1
n?1 n
n?1nn?a?(a
n?1
n
n
)?(a
n?1
?an?2
)?……+(a
-a)?a
n?1n?2121?( 1 ?1)
n?1
n?2
1
2
1
? 1 )?……?1 1) 1
? ?(
? ?
n
2n?3?1
2
n
n?1 1 2 2
（2）
2s?(n?1)a
n n?2
n n
n?1
?na
(n?2)
n?1
n?1
a
n
?(n?1)a
na
(n?2)
a即： n
a
a
? nn?1
an?
a
n?1
(n?2)
a1n?
a
1
n?1
1
n
n?a?
n
n ? n?1……
an?1nn?
a
n?1
n
n?1
2?a
n?21? ?n?1……2
n?2
1
?n
q1?p
q
1?p
n?1
n
?pa
q(其中p,q为常数，pq(p?1)?0)
n?1
n?1
n
t?p(a
t),其中t=
，再利用换元法转化为等比数列求解。
n1例2.已知数列?a?中，a
n
1
?1,a
?1?2a
3，求?a?的通项公式。
nn?1 nnn解：由a ?2a
n
n?1 n
n
n
n?1 na ?3?
n?1 n
令b?a?3,则b=a+3=4且b =2b
n n 1 1 n+1 n
??b?是以b=4为首项，公比为q=2的等比数列
n 1
?bn?4?2n?1?2n?1
n即a?2n?1?3
n
类型三：a
?pa
f(n)(其中p为常数)
n?1n分析：在此只研究两种较为简单的情况，即f(
n?1
n
n?1 nf(x)是多项式时转为a ?A(n?1)?B?p(a?An?
n?1 n
n?1 nf(x)是指数幂：a ?pa?rqn?1
n?1 n
an?1qn?1anqn若p?
a
n?1
qn?1
a
n
qn
n?1若p?
n?1
tqn?1
n?p(a
n
tqn),其中t? qr
p?q例3.（1）设数列?a
p?q
?1,a
?3a
2n?1，求?a?的通项公式。
n
（2）设数列?a?中，a
1
?1,a
n?1
?3a
n n
2n，求?a?的通项公式。
n 1 n?1 n n
n?1 n解：（1）设a ?A(n?1)?B?3(a?An
n?1 n
?an?
?a
?3a
2An?2B?A
n? 2A?2
n
?与原式比较系数得：?2B?A?1
?
??A?1
??B?1
?
n?1 n即a ?(n?1)?1?3(a?
n?1 n
令b?a?n?1,则b =3b且b=a+1+1=3
n n n+1 n 1 1
??b?是b=3为首项，公比q=3的等比数列
n 1
?bn?3?3n?1?3
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