高中数学北师大版选修23学案131 组合与组合数公式 含解析.docx

§3 组合

第1课时 组合与组合数公式

理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系．(易混点)

理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算．(重点)

会解决一些简单的组合问题．(难点)

教材整理1 组合的概念

[基础·初探]

P P 1阅读教材 ～ “练习”以上部分，完成下列问题．

P P 1

12 13

一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素 ，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

【答案】 为一组

下面几个问题中属于组合问题的是( )

①由1,2,3,4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；

③由1,2,3构成两位数的方法；④由1,2,3组合无重复数字的两位数的方法．

①③C．①②

②④D．①②④

【解析】 ①②为组合问题，与顺序无关，③④为排列问题，与顺序有关．

【答案】 C

教材整理2 组合数的概念、公式、性质

P 1 P阅读教材 “练习”

P 1 P

组合数定义

组合数

定义

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 的个数，叫

作从n个不同元素中取出m个元素的组合数

表示法

组合数

乘积式

Cm＝ ＝

n

公式

阶乘式

Cm＝

n

性质

Cm＝ ，Cm ＝

n

n＋1

备注 ①n，m∈N且m≤n；②规定：C0＝1

＋

n

m

nAAm【答案】 所有组合 Cm n

n

A

A

m

Cm

C

n?n－1??n－2???n－m＋1? n！

m！ m！?n－m?！

n－mn

Cm＋Cm－1

n n

1．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是 ．

【解析】 甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价

3×2

相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为C2＝ ＝3.

3 2

【答案】 3

2．C2＝ ，C17＝ .

6 18

6×5

6 2【解析】 C2＝ ＝15，

6 2

C17＝C1

＝18.

18 18

【答案】 15 18

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：解惑：

疑问2：解惑：疑问3：解惑：

[小组合作型]

组合的概念

组合的概念

判断下列各事件是排列问题还是组合问题．

10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？

10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？

(4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？

【精彩点拨】 要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关．

【自主解答】 (1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．

是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别．

是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．

是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序的区别．

根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．

区分有无顺序的方法

把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，

看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．

[再练一题]

从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合．

【解】 要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：

由此可得所有的组合为

ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.

组合数公式的应用n?n＋1??n＋2???n＋100?

组合数公式的应用

式子

A A．

A A

n＋100

n100C．101C

n100

＋

(2)求值：C5－n＋C9－n.

100！

可表示为( )

B C．

B C

n＋100

n100D．101C

n100

＋

n n＋1

【精彩点拨】 根据题目的特点，选择适当的组合数公式进行求值或证明．

【自主解答】 (1)分式的分母是100！，分子是101个连续自然数的乘积，最大的为n＋100，最小的为n，

n?n＋1??n＋2???n＋100?

故 100！

n?n＋1??n＋2???n＋100?

＝101· 101！

＝101C101 .

n＋100

【答案】 D

由组合数定义知：

?0≤5－n≤n，

?

?0≤9－n≤n＋1，

所以4≤n≤5