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1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)
设y?f(lnx)ef(x),其中f可微,则dy???.
若函数f(x)?
1 ?
1?x2
?1f(x)dx,则?1
1?
1?x2
f(x)dx???.
差分方程y ?y
t?1 t
?t2t的通解为 .
若二次型f(x,x
,x)?2x2?x2?x2?2xx
txx
是正定的,则t的取值范围是 .
1 2 3
1 2 3
12 23
设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0,32),而X,
,X 和Y, ,Y
分别是来自总体X和Y的简
X? ?X
1 9 1 9
单随机样本,则统计量U?
1
Y2?
1
9 服从
?Y2
9
分布(2分),参数为 .
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
设函数f(x)??
1?cosx0
x5 x6
? ? ?sint2dt,g(x) ,则当x 0时,f(x)是g(x)
? ? ?
5 6
低阶无穷小 (B)高阶无穷小
(C)等价无穷小 (D)同阶但不等价的无穷小
(2) 若 f(?x)?f(x)(???x???) ,在 (??,0) 内 f?(x)?0 ,且 f?(x)?0 ,则在(0??, 内有
( )
(A) f?(x)?0,f?(x)?0 (B) f?(x)?0,f?(x)?0
(C) f?(x)?0,f?(x)?0 (D) f?(x)?0,f?(x)?0
设向量组? ,?,? 线性无关,则下列向量组中,线性无关的是 ( )
1 2 3
?
1
?
??,?
2 2
??,?
??,?
3 3
??,?
??
1
?2? ??
1
?
2
?2?
2
,2?
3 1
?3?
2 3
,3???
1 2 2 3 3 1
(D)???
1 2
??,2?
3 1
?3?
2
?22?
3
,3?
1
?5?
2
?5?
3
设A,B为同阶可逆矩阵,则 ( )
AB?BA (B)存在可逆矩阵P,使P?1AP?B
(C)存在可逆矩阵C,使CTAC?B (D)存在可逆矩阵P和Q,使PAQ?B
设两个随机变量X与Y相互独立且同分布:P?X??1??P?Y??1??1,P?X?1?
2
?P?Y?1??
1
,则下列各式中成立的是 ( )
2
P?X?Y??1
2
P?X?Y??1
(C)P?X?Y?0??1 (D)P?XY?1??1
4 4
三、(本题满分6分)在经济学中,称函数
1? ?
1
Q(x)?A[?Kx?(1??)L?x]x
为固定替代弹性生产函数,而称函数
Q?AK?L1??
为Cobb-Douglas生产函数(简称C—D生产函数).
试证明:但x?0时,固定替代弹性生产函数变为C—D生产函数,即有
limQ(x)?Q.
x?0
四、(本题满分5分)
设u?f(x,y,z)有连续偏导数,y?y(x)和z?z(x)分别由方程exy?y?0和ex?xz?0所确定,求du.
dx
五、(本题满分6分)
一商家销售某种商品的价格满足关系 p?7?0.2x(万元/吨),x为销售量(单位:吨),商品的成本函数
C?3x?1(万元).
若每销售一吨商品,政府要征税t(万元),求该商家获最大利润时的销售量;
t为何值时,政府税收总额最大.
六、(本题满分6分)
设函数f(x)在[0,??)上连续、单调不减且f(0)?0,试证函数
?1 x
?0F(x)??x?
?
0
??
tnf(t)dt, 若x?0,0, 若x?0,
在[0,??)上连续且单调不减(其中n?0).
七、(本题满分6分)
从点P(1,0)作x轴的垂线,交抛物线y?x2于点Q(1,1);再从Q作这条抛物线的切线与x轴交于P
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