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最短路线
?知识要点
在日常生活中,我们经常会遇到关于行程的路线问题。比如从一个地方到另一个地方,两地之间有许多条路,我们就需要选择哪一条路最近,也就是要选择一条最短路线,这样可以省时省力,这就是最短路线问题。
本讲我们就一起来学习怎样找最短路线。
?精选例题
?【例1】:如图,甲、乙两个村庄分别在公路的两侧,现在要在公路旁建造一个汽车站,使甲、乙两个村庄到车站的距离之和最短,那么,车站应建在公路何处?
?思路点拨:根据两点之间线段最短,连接甲、乙两点,如图,这条线段与公路有一个交点O,在O点处建一个车站,就能使甲、乙两个村庄到车站的距离之和最短。
?标准答案:
?活学巧用
小明和小强分别住在河岸的两边,现在要修一条路,让小明和小强能去河岸旁取水,并要求这条路使小明和小强去取水的距离之和最短,这条路应该怎么修?
小明
河岸小强
如下图,在一条河的两边有A、B两个小区,为了方便两个小区的居民出行,准备在河上建一座桥,请问,这座桥建在何处,使两个小区的居民来往的路程最短?
河
?【例2】:小华、小明两家分别住在河岸边的A、B两地,如图,如果两家想在河边合修一个取水码头,请问,这个码头的点选在何处,才能使小华、小明两家取水时所走的路程之和最短?
河
?思路点拨:如图,先在河对岸找到以河为对称轴的对称点A’,再连接A’B,线段A’B与河的交点在O点处,A’O=AO。因为两个点之间线段最短,所以A’B是两点间最短的距离,而A’B=A’O+OB=AO+OB。所以应把取水码头的点选在O点,这样小华和小明两家取水时所走的路程之和最短。
?标准答案:
河
?活学巧用
古希腊有一位著名的学者,名叫海伦。有一天,一位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题:从甲地出发到河边饮马(如图),然后再去乙地,走什么样的路线最短呢?这就是后来被人们称为“将军饮马”的问题。小朋友,你来回答这位将军提出的问题,好吗?
在公路一边有A、B两个小区,为了方便两个小区居民出行,准备在公路边安放一个汽车站牌,问应该安放在何处才能使两个小区的居民所走的路程之和最短。
?【例3】:如图是小华家到学校要经过的所有道路,观察一下,小华从家到学校,怎样走路程最短?一共有多少种最短路线的走法?
家
?思路点拨:要走最短的路线,应尽可能少走或者不走重复的路线,也就是尽量不走回头路。从图中可以看出,只要向上向右走,就可以不重复。因此,从家到学校的最短路线的走法如下图所示:
?标准答案:
从家到学校最短路线的走法共有10种。
?活学巧用
下图是棋盘的一部分,要把A点的棋子移动到B点,要求只能向上向右。问:一共有多少种不同的走法?
B
A
如图,从A到B共有多少种不同的最短路线?
A
B
下图中的线段表示的是小华家到学校所能经过的所有道路,小华上学走路的方向都是向东或向北,但是他不想走冤枉路而浪费时间。那么你帮小华算一下,从家到学校一共可以有多少种不同的路线?
学校
小华家
?【例4】:三(1)班的学生要从学校到老年公寓区慰问老人们,如图就是学校到老年公寓所有的道路分布图,标处的路口正在重建,行人不能通行。请问,从学校到老年公寓有多少种最近的走法?
老年公寓
学校
?思路点拨:根据上题的方法,我们在向上向右能够通过的每个路口上标上走法次数的数字,如图,这样就能算出从学校到老年公寓最近走法的次数了。
?活学巧用
1.星期天小红要从家里去游泳馆学游泳,下图是小红去游泳馆所要经过的道路分布图,其中的路口因道路抢修不能通过。那么小红到游泳馆的最短路线有多少种走法?
小明假期要到奶奶家去玩,下图是要经过的道路分布图,其中标的路口不能通过,那么小明去奶奶家的最短路线有多少种?
小明家
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