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学业分层测评(十九)
一、选择题
(建议用时:45分钟)[学业达标]
+1.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=
+
1 4的最小值是( )
7
A.2
2C.9
2
a b
B.4
D.5
【解析】 ∵a+b=2
1 4 a+b+2a+2b 1 b
+2a+2 5
,∴y=a+b=2a
b =2+2a b
≥2+
2 b·2a 9 b 2a
2时,取“=”.
2a b=2,当且仅当2=b且a+b=
a
【答案】 C
如果log3m+log3n=4,则m+n的最小值为( )
A.4 3C.9
B.4D.18
【解析】 ∵m>0,n>0,由log3m+log3n=log3mn=4,
∴mn=81,∴m+n≥2 mn=18,当且仅当m=n=9时等号成立.
【答案】 D
若函数f(x)=x+
A.1+2C.3
1 (x>2)在x=a处取最小值,则a=( )
x-2
3B.1+D.4
3
【解析】 f(x)=x+1 =x-2+1
+2.
x-2 x-2
∵x>2,∴x-2>0,
∴f(x)=x-2+1 +2≥2 ?x-2?· 1 +2=4,
x-2 x-2
当且仅当x-2=1 ,即x=3时等号成立.
x-2
又f(x)在x=a处取最小值,∴a=3.
【答案】 C
4.(2015·湖南高考) 1 2 ( )
若实数a,b满足+=ab,则ab的最小值为
a b
2B.2
2
2C.2 D.4
2
1 2 1 2 2
【解析】由+=ab知a0,b0,所以ab=+≥2
,即ab≥2 2,
a b
?1 2
a b ab
?=,
当且仅当?a b
即a=42,b=4
时取“=”,所以ab的最小
+??1 2=
+
2 2
ab,
a b
值为2 2.
【答案】 C
若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是( )
A.[6,+∞)C.(0,9]
B.[9,+∞)D.(0,6]
【解析】 ∵a,b是正数,∴ab=a+b+3≥2 ab+3(当a=b时取“=”),即ab-2 ab-3≥0,
∴ab≥3或ab≤-1(舍去),∴ab≥9.
【答案】 B
二、填空题
函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图像恒过定点A,若点A在直线mx+ny-1
1 1
=0(mn>0)上,则m+的最小值为 .
n
【解析】 由题意知A(1,1),∴m+n=1,
? m n1 1 ??1+1?
? m n
∴m+n=?m n?(m+n)=2++≥4,
当且仅当m=n时“=”成立.
【答案】 4
7.(2016·泉州高二检测)已知两个正数x、y满足x+y=4 1 4
,则使不等式x+y≥m
恒成立的实数m的取值范围是 .
【解析】 ∵x+y=4,
1x y
1
∴4+4=,
1 4 ?1 4??x y? 1 y x 5 y x 5
y x 5 1
∴x+y=??x+y??·??4+4??=4+4x+y+1=4+4x+y≥4+2
4· =4+2×2
?y x
xy
? 4?
? 4
9 ?4=, 3
=,当且仅当?x y 即? 时,
4 ??x+y=4, ?? 8
y=3
1 4 9
取“=”,要使x+y≥m恒成立,只需m≤4即可,故m的取值范围是
? 9?
??-∞,4??.
【答案】 ??-∞,9?
? 4??
8.某校要建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池,池底和池壁的造价每平方米分别为240元和160元,那么水池的最低总造价为 元.
【解析】 设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元,根据题意,有2xy=8,∴xy=4,且
8
z=240×2+160(2×2x+2×2y)
=120×8+640(x+y)
xy≥120×8+1280
xy
=120×8+1280×2
=3520.
【答案】 3520
三、解答题
9.(1)
3 8
的最大值;
当x<2时,求函数y=x+2x-3
(2)若正数x,y满足x+3y=5xy,求3x+4y的最小值.
1 8 3
?3-2x
8 ? 3
【解】 (1)y=2(2x-3)+ +2=-? 2 +3-2?+2,
2x-3 ? x?
3
∵当x<2时,3-2x>0,
3-2x 8
2∴ + ≥23-2x
2
3-2x 8
3-2x· 8
2 3-2x
=4,
2当且仅当 = ,
2
3-2x
1
即x=-2时取等号,
3 5 5
于是y≤-4+2=-2,故函数有
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