高中数学北师大版必修五学业分层测评第三章 不等式 19 含解析.docx

学业分层测评(十九)

一、选择题

(建议用时：45分钟)[学业达标]

＋1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝

＋

1 4的最小值是( )

7

A.2

2C.9

2

a b

B．4

D．5

【解析】 ∵a＋b＝2

1 4 a＋b＋2a＋2b 1 b

＋2a＋2 5

，∴y＝a＋b＝2a

b ＝2＋2a b

≥2＋

2 b·2a 9 b 2a

2时，取“＝”．

2a b＝2，当且仅当2＝b且a＋b＝

a

【答案】 C

如果log3m＋log3n＝4，则m＋n的最小值为( )

A．4 3C．9

B．4D．18

【解析】 ∵m＞0，n＞0，由log3m＋log3n＝log3mn＝4，

∴mn＝81，∴m＋n≥2 mn＝18，当且仅当m＝n＝9时等号成立．

【答案】 D

若函数f(x)＝x＋

A．1＋2C．3

1 (x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝( )

x－2

3B．1＋D．4

3

【解析】 f(x)＝x＋1 ＝x－2＋1

＋2.

x－2 x－2

∵x＞2，∴x－2＞0，

∴f(x)＝x－2＋1 ＋2≥2 ?x－2?· 1 ＋2＝4，

x－2 x－2

当且仅当x－2＝1 ，即x＝3时等号成立．

x－2

又f(x)在x＝a处取最小值，∴a＝3.

【答案】 C

4．(2015·湖南高考) 1 2 ( )

若实数a，b满足＋＝ab，则ab的最小值为

a b

2B．2

2

2C．2 D．4

2

1 2 1 2 2

【解析】由＋＝ab知a0，b0，所以ab＝＋≥2

，即ab≥2 2，

a b

?1 2

a b ab

?＝，

当且仅当?a b

即a＝42，b＝4

时取“＝”，所以ab的最小

＋??1 2＝

＋

2 2

ab，

a b

值为2 2.

【答案】 C

若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是( )

A．[6，＋∞)C．(0,9]

B．[9，＋∞)D．(0,6]

【解析】 ∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2 ab＋3(当a＝b时取“＝”)，即ab－2 ab－3≥0，

∴ab≥3或ab≤－1(舍去)，∴ab≥9.

【答案】 B

二、填空题

函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1

1 1

＝0(mn＞0)上，则m＋的最小值为 ．

n

【解析】 由题意知A(1,1)，∴m＋n＝1，

? m n1 1 ??1＋1?

? m n

∴m＋n＝?m n?(m＋n)＝2＋＋≥4，

当且仅当m＝n时“＝”成立．

【答案】 4

7．(2016·泉州高二检测)已知两个正数x、y满足x＋y＝4 1 4

，则使不等式x＋y≥m

恒成立的实数m的取值范围是 ．

【解析】 ∵x＋y＝4，

1x y

1

∴4＋4＝，

1 4 ?1 4??x y? 1 y x 5 y x 5

y x 5 1

∴x＋y＝??x＋y??·??4＋4??＝4＋4x＋y＋1＝4＋4x＋y≥4＋2

4· ＝4＋2×2

?y x

xy

? 4?

? 4

9 ?4＝， 3

＝，当且仅当?x y 即? 时，

4 ??x＋y＝4， ?? 8

y＝3

1 4 9

取“＝”，要使x＋y≥m恒成立，只需m≤4即可，故m的取值范围是

? 9?

??－∞，4??.

【答案】 ??－∞，9?

? 4??

8．某校要建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，池底和池壁的造价每平方米分别为240元和160元，那么水池的最低总造价为 元．

【解析】 设底面的长为xm，宽为ym，水池总造价为z元，根据题意，有2xy＝8，∴xy＝4，且

8

z＝240×2＋160(2×2x＋2×2y)

＝120×8＋640(x＋y)

xy≥120×8＋1280

xy

＝120×8＋1280×2

＝3520.

【答案】 3520

三、解答题

9．(1)

3 8

的最大值；

当x＜2时，求函数y＝x＋2x－3

(2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值．

1 8 3

?3－2x

8 ? 3

【解】 (1)y＝2(2x－3)＋ ＋2＝－? 2 ＋3－2?＋2，

2x－3 ? x?

3

∵当x＜2时，3－2x＞0，

3－2x 8

2∴ ＋ ≥23－2x

2

3－2x 8

3－2x· 8

2 3－2x

＝4，

2当且仅当 ＝ ，

2

3－2x

1

即x＝－2时取等号，

3 5 5

于是y≤－4＋2＝－2，故函数有