高中数学北师大版选修23学案252 离散型随机变量的方差 含解析.docx

第2课时 离散型随机变量的方差

理解离散型随机变量的方差的意义．(重点)

能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(难点)

[基础·初探]

教材整理 离散型随机变量的方差的概念

P P 2 5阅读教材 ～ “习题

P P 2 5

61 62

离散型随机变量的方差和标准差(1)方差DX＝ .

(2)标准差为 ．

【答案】 (1)E(X－EX)2 (2) DX

方差的性质

D(aX＋b)＝ .

【答案】 a2DX

方差的意义

方差可用来衡量X与EX的 ，方差越小，则随机变量的取值就越

；方差越大，则随机变量的取值就越 ．

【答案】 平均偏离程度 集中在其均值周围 分散

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( )

若X是常数，则DX＝0.( )(3)若DX＝0，则X是常数．( )

(4)如果X是离散型随机变量，Y＝3X＋2，那么DY＝9DX.( )

【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．已知随机变量X的分布列是

XP(X)10.420.230.4

X

P(X)

1

0.4

2

0.2

3

0.4

C．1

B．0.8

D．2

【解析】 ∵EX＝1×0.4＋2×0.2＋3×0.4＝2，

∴DX＝0.4×(1－2)2＋0.2×(2－2)2＋0.4×(3－2)2＝0.8.

【答案】 B

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：解惑：疑问2：解惑：

[小组合作型]

求离散型随机变量的方差

求离散型随机变量的方差

编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学

生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求Eξ和Dξ.

【精彩点拨】 首先确定ξ的取值，然后求出ξ的分布列，进而求出Eξ和

Dξ的值．

【自主解答】 ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位学生全坐错了，有

2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，

2 1

3则P(ξ＝0)＝A3＝3；

3

ξ＝1表示三位学生只有1位学生坐对了，

C1 1

A2则P(ξ＝1)＝3＝；

A

2

3

3

ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座，

1 1

3则P(ξ＝3)＝A3＝6.

3

所以，ξ的分布列为

ξP013112316×＋×＋×＝Eξ＝0

ξ

P

0

1

3

1

1

2

3

1

6

×

＋

×

＋

×

＝

3 2 6

＝×(0－1)＋×(1－1)＋×(3－1)＝1.

＝

×(0－1)

＋

×(1－1)

＋

×(3－1)

＝1.

3 2 6

求离散型随机变量的方差的类型及解决方法1．已知分布列型(超几何分布或二项分布)：直接利用定义求解，具体如下：(1)求均值；(2)求方差．

已知分布列是超几何分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下，

M?1

M?N－n

若X服从超几何分布，则DX＝nN·??

－N??N－.

1

若X～B(n，p)，则DX＝np(1－p)．

未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成1中的情况．

对于已知DX求D(aX＋b)型，利用方差的性质求解，即利用D(aX＋b)

＝a2DX求解．

[再练一题]

1．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3

张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求Eξ和Dξ.

【解】 这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6,9,12.ξ＝6

表示取出的3张卡片上均标有2，

C815则P(ξ＝6)＝C3＝7.

C

8

15

3

10

ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，

C2C1 7

则P(ξ＝9)＝

8 2＝ .

C153

C

15

10

ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，

C1C2 1

则P(ξ＝12)＝

8 2＝ .

C153

C

15

10

∴ξ的分布列为

ξP

ξ

P

6

7

15

9

7

15

12

1

15

∴Eξ＝6×15＋9×15＋12×15＝7.8.

15 15Dξ＝(6－7.8)2×7＋(9－7.8)2×7＋(12－7.8)2

15 15

15×1＝3.36.

15

二项分布的方差

二项分布的方差

为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植

物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，

3

设ξ为